Gọi số gồm toàn chữ số 1 là c và số gồm 100 chữ số 3 là d:

Ta có: d = 100 chữ số 3 => tổng các chữ số = 100 . 3 = 300

Nếu c chia hết cho 3 và c lớn hơn hoặc bằng 300 => c chia hết cho d

=> c sẽ chia hết cho d nếu c gồm 300, 600, 900, 1200, ... chữ số 1 gộp lại.

Mà đề kêu tìm số nhỏ nhất

=> Số cần tìm là số gồm 300 chữ số 1 gộp lại.

Gọi số cận tìn là N = 111....1 (n chữ số 1)

Ta có:33...33 (100 chữ số 3)= 3 . 11...11 (100 chữ số 1)

Có 3 và 11...11 (100 chữ số 1) là 2 số nguyên tố cùng nhau (Vì 11...11 (100 chữ số 1) khồng chia hết cho 3)

Để N chia hết cho 33...33 (100 chữ số 3) thì N chia hết cho 3 và  11...11 (100 chữ số 1)

Tổng các chữ số của N bằng n.Để N chia hết cho 3 thì n phải chia hết cho 3

Mà  N chia hết cho 11...11 (100 chữ số 1) ;  N nhỏ nhất  và toàn các chữ số 1

=> N = 111...111...11.11...11 (300 chữ số 1)

Số gồm 100 chữ số 3 có  là: 3333 ...33 (100 chữ số 3) = 3 x 111 ...11 (100 chữ số 1)

Số nhỏ nhất gồm toàn chữ số 1 chia hết cho số gồm 100 chữ số 3 thì số đó phải vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 1111 ...11 (100 chữ số 1)

Số nhỏ nhất chia hết cho số có 100 chữ số thì phải là số có 100 chữ số 1, 200 chữ số 1 , 300 chữ số 1 .....

Mà trong các số đó có số 300 chữ số 1 là số nhỏ nhất vừa chết cho 3 vừa chia hết cho 1111 ...

(100 chữ số 1)

Vậy số nhỏ nhất phải tìm là: 1111111 ... 11(300 chữ số 1)

Thấy ngay qui luật nếu số tự nhiên nào đó gồm toàn chữ số 1\(⋮\)3 thì số nhỏ nhất là 111

                                nếu số tự nhiên nào đó gồm toàn chữ số 1\(⋮\)33 thì số nhỏ nhất là 111111

                        ...

        nếu số tự nhiên nào đó gồm toàn chữ số 1\(⋮\)333...3 thì số nhỏ nhất là 111111...111(có 100 chữ số 3;300 chữ số 1)

Vậy số tự nhiên nhỏ nhất gồm toàn chữ số 1 chia hết cho 100 chữ số 3 là số có 300 chữ số 1   

Số gồm 100 chữ số 3 có là: 3333 ...33 (100 chữ số 3) = 3 x 111 ...11 (100 chữ số 1)

Số nhỏ nhất gồm toàn chữ số 1 chia hết cho số gồm 100 chữ số 3 thì số đó phải vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 1111 ...11 (100 chữ số 1)

Số nhỏ nhất chia hết cho số có 100 chữ số thì phải là số có 100 chữ số 1, 200 chữ số 1 , 300 chữ số 1 .....

Mà trong các số đó có số 300 chữ số 1 là số nhỏ nhất vừa chết cho 3 vừa chia hết cho 1111 ... (100 chữ số1)

Vậy số nhỏ nhất phải tìm là: 1111111 ... 11(300 chữ số 1) 

Số gồm 100 chữ số 3 có là: 3333 ...33 (100 chữ số 3) = 3 x 111 ...11 (100 chữ số 1)

Số nhỏ nhất gồm toàn chữ số 1 chia hết cho số gồm 100 chữ số 3 thì số đó phải vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 1111 ...11 (100 chữ số 1)

Số nhỏ nhất chia hết cho số có 100 chữ số thì phải là số có 100 chữ số 1, 200 chữ số 1 , 300 chữ số 1 .....

Mà trong các số đó có số 300 chữ số 1 là số nhỏ nhất vừa chết cho 3 vừa chia hết cho 1111 ... (100 chữ số1)

Vậy số nhỏ nhất phải tìm là: 1111111 ... 11(300 chữ số 1) 

Số gồm 100 chữ số 3 có là: 3333 ...33 (100 chữ số 3) = 3 x 111 ...11 (100 chữ số 1)

Số nhỏ nhất gồm toàn chữ số 1 chia hết cho số gồm 100 chữ số 3 thì số đó phải vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 1111 ...11 (100 chữ số 1)

Số nhỏ nhất chia hết cho số có 100 chữ số thì phải là số có 100 chữ số 1, 200 chữ số 1 , 300 chữ số 1 .....

Mà trong các số đó có số 300 chữ số 1 là số nhỏ nhất vừa chết cho 3 vừa chia hết cho 1111 ... (100 chữ số1)

Vậy số nhỏ nhất phải tìm là: 1111111 ... 11(300 chữ số 1) 

Nguyễn Tuấn Minh nếu dùng hệ phương trình cũng có thể giải được đó

222³³³ = ( 2³)¹¹¹=8¹¹¹

333²²²= ( 3²)¹¹¹ =9¹¹¹

vì 8¹¹¹ < 9¹¹¹

nên 222³³³ < 333²²²

Ta có : 
3333...3(100 chữ số 3)/3=1111....1(100 chữ số 1) 
=> 1111....1(100 chữ số 1) * 3 = 3333.....3(100 chữ số 3) 
Từ ví dụ trên ta thấy : 
11111....1(n chữ số 1) * 3 = 33333.......3(n chữ số 3) 
=> Nếu ta nhân n với 3 thì ra số chữ số 1 cần tìm 
=> n*3=100*3=300 
Vậy có 300 chữ số 1 để chia hết cho 100 chữ số 3

NHớ k

Số gồm 100 chữ số 3 có là: 3333 ...33 (100 chữ số 3) = 3 x 111 ...11 (100 chữ số 1)
Số nhỏ nhất gồm toàn chữ số 1 chia hết cho số gồm 100 chữ số 3 thì số đó phải vừa chia hết cho 3
vừa chia hết cho 1111 ...11 (100 chữ số 1)
Số nhỏ nhất chia hết cho số có 100 chữ số thì phải là số có 100 chữ số 1, 200 chữ số 1 , 300 chữ
số 1 .....
Mà trong các số đó có số 300 chữ số 1 là số nhỏ nhất vừa chết cho 3 vừa chia hết cho 1111 ...
(100 chữ số 1)
Vậy số nhỏ nhất phải tìm là: 1111111 ... 11(300 chữ số 1)

Số cần tìm là 111111111111111111111111111111111111111....................( 300 chữ số 1)

tick ae

1)

\(222^{333}\)   và  \(333^{222}\)

\(222^{333}=\left(222^3\right)^{111}=10941048^{111}\)

\(333^{222}=\left(333^2\right)^{111}=110889^{111}\)

 vì \(10941048^{111}>110889^{111}\Rightarrow222^{333}>333^2\)

 2)

\(1x8y2⋮36\Rightarrow1x8y2⋮4;1x8y2⋮9\)

\(1x8y2⋮4\Leftrightarrow y2⋮\Leftrightarrow y=\left\{1;5;9\right\}\)

-nếu\(y=1\Rightarrow1x812⋮9\Leftrightarrow\left(1+x+8+1+2\right)⋮9\Leftrightarrow12+x⋮9\Leftrightarrow x=6\)nếu \(y=5\Rightarrow1x852⋮9\Leftrightarrow\left(1+x+8+5+2\right)⋮9\Leftrightarrow16+x⋮9\Leftrightarrow x=2\)nếu \(y=9\Rightarrow1x892⋮9\Leftrightarrow\left(1+x+8+9+2\right)⋮9\Leftrightarrow20+x⋮9\Leftrightarrow x=7\) 

5)

gọi số cần tìm là :A

Chia cho 29 dư 5 nghĩa là 

A= 29p+5 (p thuộc N)

tương tự ta có A=31q+28 (q thuộc N)

nên :29p+5=31q+28=>29(p-q) =2q+23

ta thấy : 2q+23 là số lẻ => 29(p-q) cũng là số lẻ => p-q >=1

theo giả thiết A nhỏ nhất => q nhỏ nhất (A= 21q+28)

=> 2q=29(p-q)-23 nhỏ nhất 

=>p-q nhỏ nhất

do đó p-q=1=> 2q=29-23=6=>q=3

vậy A=31q+28=31.3+28=121