ta có \(a^2+b^2>=\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)→\(a^2+b^2>=2\)(dấu =  xãy ra khi a=b=1)

→\(\left(a^2+b^2\right)^2>=2^2\) hay\(a^4+b^4+2a^2b^2>=4\)(1)

mà\(\left(a^2-b^2\right)^2>=0\)→\(a^4+b^4-2a^2b^2>=0\)(2)

cộng vế vs vế ta có : \(2\left(a^4+b^4\right)>=4\)→\(a^4+b^4>=2\)(dấu = cũng xãy ra khi a=b=2)

vậy B min = 2 khi a=b=1

câu C tương tự nhé

B=a⁴+b⁴

Ta áp dụng BĐT Bunhiacopski

\(\left(1^4+1^4\right)\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)^4\)

\(\Leftrightarrow B\ge2^4=16\)

Dấu = khi \(\begin{cases}a=2\\b=0\end{cases}\)hoặc \(\begin{cases}a=0\\b=2\end{cases}\)

Vậy MinB=16 khi \(\begin{cases}a=2\\b=0\end{cases}\) hoặc \(\begin{cases}a=0\\b=2\end{cases}\)

C=a⁸+b⁸

Dùng BĐT Bunhiacopski

\(\left(1^8+1^8\right)\left(a^8+b^8\right)\ge\left(a+b\right)^8\)

\(\Leftrightarrow C\ge2^8=256\)

Dấu = khi \(\begin{cases}a=2\\b=0\end{cases}\)hoặc \(\begin{cases}a=0\\b=2\end{cases}\)

Vậy MinC=256 khi \(\begin{cases}a=2\\b=0\end{cases}\)hoặc \(\begin{cases}a=0\\b=2\end{cases}\)

Dự đoán dấu "=" và chọn điểm rơi phù hợp để áp dụng bất đẳng thức Trung bình cộng - Trung bình nhân

\(4\left(a+b+c\right)=a^2+\left(b+c\right)^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Rightarrow a+b+c\le8\)

\(a^2+16-16\ge8a-16\)

\(\Rightarrow P\ge8\left(a+b+c\right)-16+\dfrac{8100}{\sqrt{2a+2b+1}+\sqrt{2c+1}}\)

\(\Rightarrow P\ge8\left(a+b+c\right)-16+\dfrac{48600}{6\sqrt{2a+2b+1}+6\sqrt{2c+1}}\)

\(\Rightarrow P\ge8\left(a+b+c\right)-16+\dfrac{24300}{a+b+c+10}\)

\(\Rightarrow P\ge8\left(a+b+c+10+\dfrac{324}{a+b+c+10}\right)+\dfrac{21708}{a+b+c+10}-96\)

\(\Rightarrow P\ge16.\sqrt{324}+\dfrac{21708}{18}-96=1398\)

Dấu "=" xảy ra tại \(\left(a;b;c\right)=\left(4;0;4\right)\)

\(Q=a+b+\frac{a^2+b^2}{a}+\frac{a^2+b^2}{b}=a+b+\frac{8}{a}+\frac{8}{b}\).

Ta dự đoán biểu thức đạt min tại \(a=b=2\) nghĩa là \(a=\frac{4}{a},b=\frac{4}{b}\) nên ta tách:

\(Q=\left(a+\frac{4}{a}\right)+\left(b+\frac{4}{b}\right)+4\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\).

Áp dụng BĐT Cauchy và BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)ta có \(Q\ge8+\frac{16}{a+b}\).

Ta lại có \(a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}=4\) nên \(Q\ge12\)

F>=a^8/2(a^4+b^4)+b^8(b^4+c^4)+c^8/(c^4+a^4)>=(a^4+b^4+c^4)^2/4(a^4+b^4+c^4)=(a^4+b^4+c^4)/4

a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca=1.

3(a^4+b^4+c^4)>=(a^2+b^2+c^2)^2=1>>>a^4+b^4+c^4>=1/3

>>>F>=1/3/4=1/12

Dấu = xảy ra khi a=b=c(tự tính)

Câu 1

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\\ \Leftrightarrow N=ab+\dfrac{1}{16ab}+\dfrac{15}{16ab}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{16}}+\dfrac{15}{4\left(a+b\right)^2}\ge\dfrac{1}{2}+\dfrac{15}{4}=\dfrac{17}{4}\)

Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)

Câu 2:

\(P=a+\dfrac{1}{a}+2b+\dfrac{8}{b}+3c+\dfrac{27}{c}+4\left(a+b+c\right)\\ P\ge2\sqrt{1}+2\sqrt{16}+2\sqrt{81}+4\cdot6=2+8+18+4=32\)

Dấu \("="\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=2\\c=3\end{matrix}\right.\)

Câu 3: Cho a,b,c là các số thuộc đoạn [ -1;2 ] thõa mãn \(a^2+b^2+c^2=6.\) CMR : \(a+b+c>0\) - Hoc24