Lời giải:

a. Áp dụng định lý Pitago:

$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$ (cm) 

b.

Theo đề thì $AD\perp BC$ và $AD\perp BC$ tại trung điểm $H$ của $AD$ nên $BC$ là đường trung trực của $AD$

$\Rightarrow CD=CA$

Xét tam giác $AHC$ và $DHC$ có:
$AH=DH$ (gt) 
$HC$ chung 

$AC=DC$ (cmt) 

$\Rightarrow \triangle AHC=\triangle DHC$ (c.c.c)

Hình vẽ:

a: AC=căn 10^2-6^2=8cm

b: Xét ΔAHC vuông tại H và ΔDHC vuông tại H có

HC chung

HA=HD

=>ΔAHC=ΔDHC

a: \(AC=\sqrt{10^2-6^2}=8\left(cm\right)\)

b: Xét ΔHAC vuông tại H và ΔHDC vuông tại H có

CH chung

HA=HD

DO đó: ΔHAC=ΔHDC

a) Xét △ABC vuông tại A có :

          AB²+AC²=BC²(định lý py-ta-go)

⇒       AC²=BC²-AB²

⇒       AC²=10²-6²

⇒       AC²=100-36

⇒       AC²=64

⇒       AC=8

            Vậy AC=8cm

b)

Xét △ABC và △ADC có :

    AC chung

    AB=AD(gt)

    ∠BAC=∠DAC(=90)

⇒△ABC=△ADC(c-g-c)

⇒BC=DC(2 cạnh tương ứng)

Xét △BCD có BC=DC(cmt)

⇒△BCD cân tại C (định lý tam giác cân)

c)

Xét △BCD cân tại C có

K là trung điểm của BC (gt)

A là trung điểm của BD (gt)

⇒DK , AC là đường trung tuyến của △BCD

 mà DK cắt AC tại M nên M là trọng tâm của △BCD

⇒CM=2/3AC

⇒CM=2/3.8

⇒CM=16/3cm

d)

Xét △AMQ và △CMQ có

     MQ chung 

     MA=MC(gt)

     ∠AMQ=∠CMQ(=90)

⇒△AMQ=△CMQ(C-G-C)

⇒∠MAQ=∠C₂(2 góc tương ứng )

     QA=QC( 2 cạnh tương ứng)

Vì △ABC=△ADC(theo b)

⇒∠C₁=∠C₂(2 góc tương ứng)

⇒∠C₁=∠MAQ

mà 2 góc này có vị trí SLT

⇒AQ//BC

⇒∠QAD=∠CBA( đồng vị )

mà∠CBA=∠CDA(△BDC cân tại C)

⇒∠QAD=∠QDA

⇒△ADQ cân tại Q

⇒QA=QD

mà QA=QC(cmt)

⇒DQ=CQ

⇒BQ là đường trung tuyến của△BCD 

⇒B,M,D thẳng hàng

a, Ta có : ∆ ABC vuông tại A ( gt)

-> BC^2 = AB^2 + AC^2 ( đ/lí Pytago )

-> AC^2 = BC^2 - AB^2 

Mà BC = 10 cm ( gt ) ; AB= 6 cm ( gt) 

Nên AC^2 = 10^2 - 6^2

-> AC^2 = 100- 36

-> AC^2 = 64 

-> AC  = 8 cm

a) Ta có: \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3}{4}\)(gt)

nên \(AB=\dfrac{3}{4}\cdot AC\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{3}{4}\cdot AC\right)^2+AC^2=10^2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{9}{16}\cdot AC^2+AC^2=100\)

\(\Leftrightarrow AC^2=100:\left(\dfrac{9}{16}+1\right)=100:\dfrac{25}{16}=100\cdot\dfrac{16}{25}=64\)

hay AC=8(cm)

Ta có: \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3}{4}\)(gt)

mà AC=8cm(cmt)

nên \(\dfrac{AB}{8}=\dfrac{3}{4}\)

hay AB=6(cm)

Vậy: AB=6cm; AC=8cm

b) Xét ΔABC vuông tại A và ΔADC vuông tại A có

AC chung

AB=AD(gt)

Do đó: ΔABC=ΔADC(hai cạnh góc vuông)

nên CB=CD(hai cạnh tương ứng) và \(\widehat{BCA}=\widehat{DCA}\)(hai góc tương ứng)

hay \(\widehat{BCE}=\widehat{DCE}\)

Xét ΔBEC và ΔDEC có

CB=CD(cmt)

\(\widehat{BCE}=\widehat{DCE}\)(cmt)

EC chung

Do đó: ΔBEC=ΔDEC(c-g-c)