Ta có:

\(P=\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\)

\(=\frac{a^2\left(x+y\right)}{x}+\frac{b^2\left(x+y\right)}{y}\)

\(=a^2+\frac{a^2y}{x}+b^2+\frac{b^2x}{y}\)

\(=a^2+b^2+\left(\frac{a^2y}{x}+\frac{b^2x}{y}\right)\)

Do \(\frac{a^2y}{x},\frac{b^2x}{y}\)có tích không đổi nên tổng chúng nhỏ nhất.

\(\Leftrightarrow\frac{a^2y}{x}=\frac{b^2x}{y}\)

\(\Leftrightarrow a^2y^2=b^2x^2\)

\(\Leftrightarrow ay=bx\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{a}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow y=\frac{b}{a+b}\)

Vậy \(P_{MIN}=\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow x=\frac{a}{a+b},y=\frac{b}{a+b}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz ta có:

\(R=\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}=\left(a+b\right)^2\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\)

=> x=...

     y=...

KL:.....................

Forever Miss You ở đâu có cái tích ko đổi thì tổngnhỏ nhất hay thế?

Gửi link cho a đi~~

à cái tích ko đổi gì đó là hệ quả của BĐT Cô - si nhé : \(\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\ge ab\)

hệ quả như sau : nếu 2 số không âm có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi 2 số đó bằng nhau

Đề như này pk em?

\(P=\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}\)

Áp dụng bđt Svac-xơ có:

\(P=\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{x+y}=\left(a+b\right)^2\)

Dấu = xảy ra <=>\(\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}\) và x+y=1

Ta có : \(\dfrac{a^2.1}{x}+\dfrac{b^2.1}{y}=\dfrac{a^2\left(x+y\right)}{x}+\dfrac{b^2\left(x+y\right)}{y}\) = \(a^2+\dfrac{a^2y}{x}+\dfrac{b^2x}{y}+b^2\) = \(\left(\dfrac{a^2y}{x}+\dfrac{b^2x}{y}\right)+a^2+b^2\)

Các số dương \(\dfrac{a^2y}{x}\) và \(\dfrac{b^2x}{y}\) có tích không đổi nên tổng của chung nhỏ nhất khi và chỉ khi 

\(\dfrac{a^2y}{x}=\dfrac{b^2x}{y}\Leftrightarrow a^2y^2=b^2x^2\Leftrightarrow ay=bx\Leftrightarrow a\left(1-x\right)=bx\)

⇔ \(x=\dfrac{a}{a+b}\) ; \(y=\dfrac{b}{a+b}\)

Vậy GTNN của biểu thức \(\left(a+b\right)^2\) khi \(x=\dfrac{a}{a+b}\) và \(y=\dfrac{b}{a+b}\)

Dự đoán dấu "=" và chọn điểm rơi phù hợp để áp dụng bất đẳng thức Trung bình cộng - Trung bình nhân

Phần này chug: áp dụng Cauchy có: \(a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow ab\le\left(\frac{a+b}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\)

a) \(A=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{xy}\ge\frac{1}{\frac{1}{4}}=4\)

b) Áp dụng BĐT Schwart có: \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}=\left(a+b\right)^2\)

c) đề câu này là \(x+\frac{1}{x}\)hay \(\frac{x+1}{x}\)vậy em?

\(x+\frac{1}{x}\)đó

Chứng minh Cái này :

\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\) với \(x;y>0\)

Quy đòng chuyển vế sẽ tạo thành lũy thừa bậc 2

Ta có \(1+\frac{a}{x}=1+\frac{x+y+z}{x}=\frac{2x+y+z}{x}\)

Áp dụng BĐT cosi \(x+x+y+z\ge4\sqrt[4]{x^2yz}\)

=> \(1+\frac{a}{x}\ge\frac{4\sqrt[4]{x^2yz}}{x}\)

Tương tự\(1+\frac{a}{y}\ge\frac{4\sqrt[4]{y^2xz}}{y}\); \(1+\frac{a}{z}\ge\frac{4\sqrt[4]{z^2yx}}{z}\)

=> \(Q\ge\frac{64.\sqrt[4]{x^4y^4z^4}}{xyz}=64\)

MinQ=64 khi \(x=y=z=\frac{a}{3}\)