a) Ta có: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}.\)

\(\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}.\)

\(\Rightarrow\frac{2a}{2c}=\frac{7b}{7d}.\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

\(\frac{2a}{2c}=\frac{7b}{7d}=\frac{2a+7b}{2c+7d}\) (1).

\(\frac{2a}{2c}=\frac{7b}{7d}=\frac{2a-7b}{2c-7d}\) (2).

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{2a+7b}{2c+7d}=\frac{2a-7b}{2c-7d}.\)

\(\Rightarrow\frac{2a+7b}{2a-7b}=\frac{2c+7d}{2c-7d}\left(đpcm\right).\)

Chúc bạn học tốt!

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{4a}{4c}=\frac{2b}{2d}=\frac{4a-2b}{4c-2d}=\frac{5a}{5c}=\frac{2b}{2d}=\frac{5a+2b}{5c+2d}\)

Suy ra \(\frac{4a-2b}{4c-2d}=\frac{5a+2b}{5c+2d}\)Suy ra điều phải chứng minh: \(\frac{4a-2b}{5a+2b}=\frac{4c-2d}{5c+2d}\)

Đặt \(\frac{1}{a}=x\); \(\frac{2}{b}=y;\frac{3}{c}=z\)

=>VT = \(\frac{z^3}{x^2+z^2}+\frac{x^3}{y^2+x^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}\)

Ta có \(\frac{z^3}{x^2+z^2}=z-\frac{x^2z}{x^2+z^2}\ge z-\frac{x^2z}{2xz}=z-\frac{x}{2}\)

CMTT: 

=> VT \(\ge\frac{x+y+z}{2}=\frac{3}{2}\). Dấu = khi a=1; b=2; z=3

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)

\(\Rightarrow\left(\frac{a}{c}\right)^2=\left(\frac{b}{d}\right)^2=\frac{ab}{cd}=\frac{a^2}{c^2}=\frac{b^2}{d^2}=\frac{3a^2}{3c^2}=\frac{5b^2}{5d^2}=\frac{2a^2}{2c^2}=\frac{7ab}{7cd}\)

\(=\frac{3a^2+5b^2}{3c^2+5d^2}=\frac{2a^2+7ab}{2c^2+7cd}\) ( tích chất dãy tỉ số bằng nhau )

\(\frac{a}{b}\)= \(\frac{c}{d}\)=> \(\frac{a}{c}\)= \(\frac{b}{d}\)= \(\frac{4a}{4c}\)= \(\frac{6b}{6d}\)= \(\frac{4a+6b}{4c+6d}\)

\(\frac{a}{c}\)= \(\frac{b}{d}\)= \(\frac{5a}{5c}\)= \(\frac{7b}{7d}\)= \(\frac{5a-7b}{5c-7d}\)

=> \(\frac{4a+6b}{4c+6d}\)= \(\frac{5a-7b}{5c-7d}\)

=> \(\frac{4a+6b}{5a-7b}\)= \(\frac{4c+6d}{5c-7d}\)

Thôi làm luôn ( ͡° ͜ʖ ͡°) 

\(\left(\frac{1}{a};\frac{2}{b};\frac{3}{c}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z=3\\x,y,z>0\end{cases}}\)

Và \(BDT\Leftrightarrow\frac{x^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3}{x^2+z^2}\ge\frac{3}{2}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{x^3}{x^2+y^2}=x-\frac{xy^2}{x^2+y^2}\ge x-\frac{xy^2}{2xy}=x-\frac{y}{2}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:

\(VT\ge x+y+z-\frac{x+y+z}{2}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)

\("="\Leftrightarrow x=y=z=1\Leftrightarrow a=1;b=2;c=3\)

Ngồi hóng cao nhân

1 slot đêm nay sẽ giải :D

a) Mk sửa lại chỗ \(\frac{5a-7b}{5a-7d}\) nhé, đề đúng phải là \(\frac{5a-7b}{5c-7d}\)

Ta có: \(ad=bc\Leftrightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{5a}{5c}=\frac{7b}{7d}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số = nhau ta có:

\(\frac{5a}{5c}=\frac{7b}{7d}=\frac{5a+7b}{5c+7d}=\frac{5a-7b}{5c-7d}\left(đpcm\right)\)

b) Ta có: \(ad=bc\Leftrightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\Rightarrow\frac{a^2}{c^2}=\frac{b^2}{d^2}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số = nhau ta có:

\(\frac{a^2}{c^2}=\frac{b^2}{d^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{a^2-b^2}{c^2-d^2}\left(đpcm\right)\)

cho \(\frac{a}{b}\)=\(\frac{c}{d}\)=k=> a=bk; c=dk

a. Vế trái =\(\frac{5a+3b}{5a-3b}\)=\(\frac{5bk+3b}{5bk-3b}\)=\(\frac{b\left(5k+3\right)}{b\left(5k-3\right)}\)=\(\frac{\left(5k+3\right)}{\left(5k-3\right)}\)(1)

Vế phải =\(\frac{5c+3d}{5c-3d}\)=\(\frac{5dk+3d}{5dk-3d}\)=\(\frac{d\left(5k+3\right)}{d\left(5k-3\right)}\)=\(\frac{\left(5k+3\right)}{\left(5k-3\right)}\)(2)

Từ (1) và (2) ta có\(\frac{5a+3b}{5a-3b}\)=\(\frac{5c+3d}{5c-3d}\)

b. Vế trái=\(\frac{7a^2+3ab}{11a^2-8b^2}\)=\(\frac{7b^2k^2+3b.k.b}{11b^2.k^2-8b^2}\)=\(\frac{b^2.k\left(7k+3\right)}{b^2\left(11k^2-8\right)}\)=\(\frac{k\left(7k+3\right)}{\left(11k^2-8\right)}\)(1)

Vế phải =\(\frac{7c^2+3cd}{11c^2-8d^2}\)=\(\frac{7d^2k^2+3d.k.d}{11d^2.k^2-8d^2}\)=\(\frac{d^2.k\left(7k+3\right)}{d^2\left(11k^2-8\right)}\)=\(\frac{k\left(7k+3\right)}{\left(11k^2-8\right)}\)(2)

Từ (1) và (2) ta có: \(\frac{7a^2+3ab}{11a^2-8b^2}\)=\(\frac{7c^2+3cd}{11c^2-8d^2}\)

giups mình với cảm ơn