a, ĐKXĐ : \(\left[{}\begin{matrix}x\le-3\\x\ge0\end{matrix}\right.\)

TH1 : \(x\le-3\) ( LĐ )

TH2 : \(x\ge0\)

BPT \(\Leftrightarrow x^2+2x+x^2+3x+2\sqrt{\left(x^2+2x\right)\left(x^2+3x\right)}\ge4x^2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x^2+2x\right)\left(x^2+3x\right)}\ge x^2-\dfrac{5}{2}x\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}\ge2x-5\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x< \dfrac{5}{2}\\x\ge-2\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x\ge\dfrac{5}{2}\\4x^2+20x+24\ge4x^2-20x+25\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}0\le x< \dfrac{5}{2}\\x\ge\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x\ge0\)

Vậy \(S=R/\left(-3;0\right)\)

bạn ơi đề khó nhìn vậy  

2xy=3(x+y)+1

2xy=3x+3y+1

=>2xy-3x-3y=1=>2xy-3y=3x+1=>(2x-3)y=3x+1. Vì x nguyên nên 2x-3 khác 0.

=>y=(3x+1)/(2x-3). 

Để y nguyên thì 2y cũng nguyên=>2y=(6x+2)/(2x-3)=>(6x-9+11)/(2x-3)=3+11/(2x-3).

Để 2y nguyên thì 2x-3 là ước của 11.

Nếu 2x-3=11 thì x=7, y=2.(chọn)

Nếu 2x-3=1 thì x=2, y=7.(chọn)

Nếu 2x-3=-1 thì x=1, y=-5(loại vì y nguyên dương)

Nếu 2x-3=-11 thì x=-4, y=1(loại vì x nguyên dương)

Vậy (x,y)=(2,7) và (7,2).

 \(\hept{\begin{cases}x^3-6x^2y+9xy^2-4y^3=0\left(1\right)\\\sqrt{x-y}+\sqrt{x+y}=2\left(2\right)\end{cases}}\)

ĐKXĐ: \(x\ge y\ge0\)

ta có: (1)\(\Leftrightarrow\left(x^3-y^3\right)-3y^3-9x^2y+3x^2y+9xy^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+3y\left(x^2-y^2\right)-9xy\left(x-y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2+3y\left(x+y\right)-9xy\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2-5xy+4y^2\right)=0\)

\(\orbr{\begin{cases}x=y\\x^2-5xy+4y^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y\\\left(x-y\right)\left(x-4y\right)=0\end{cases}}}\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y\\x=4y\end{cases}}\)

* Thay x=y vào phương trình (2), ta được: \(\sqrt{y-y}+\sqrt{2y}=2\Leftrightarrow y=2\Rightarrow x=y=2\)

* thay x=4y vào phương trình (2), ta được: \(\sqrt{4y-y}+\sqrt{4y+y}=2\)

\(\Leftrightarrow y=8-2\sqrt{15}\)\(\Rightarrow x=32-8\sqrt{15}\)

Vậy.......

\(x^3-y^3=xy+61\)

\(\Leftrightarrow27x^3-27y^3-27xy-1=1646\)

\(\Leftrightarrow\left(3x\right)^3+\left(-3y\right)^3+\left(-1\right)^3-3.3x.\left(-3y\right).\left(-1\right)=1646\)

Áp dụng hđt sau \(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)đc

\(\left(3x-3y-1\right)\left(9x^2+9y^2+1+9xy-3y+3x\right)=1646\)

CÓ \(1646=1.1646=2.823\)

Mà \(\hept{\begin{cases}3x-3y-1< 9x^2+9y^2+1+9xy-3y+3x\\3x-3y-1\equiv2\left(mod3\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow3x-3y-1=2\)

\(\Rightarrow x=y+1\)

THay vào đề bài

\(\left(y+1\right)^3-y^3=\left(y+1\right)y+61\)

\(\Leftrightarrow y^2+y-30=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=5\left(tm\right)\\y=-6\left(loai\right)\end{cases}}\)

VỚi y = 5 thì x = y +  1 = 6

5x²+2y+y²-4x-40=0

△=(-4)²-4.5.(2y+y²-40)

△=16-40y-20y²+800

△=-(784+40y+20y²)

△=-(32y+8y+16y²+4y²+16+4+764)

△=-[(4y+4)²+(2y+2)²+764]<0

=>PHƯƠNG TRÌNH VÔ NGHIỆM.

a là nghiệm nên \(\sqrt{2}a^2+a-1=0\Rightarrow\sqrt{2}a^2=1-a\)

\(\Rightarrow2a^4=\left(1-a\right)^2=a^2-2a+1\)

\(\Rightarrow2a^4-2a+3=a^2-4a+4=\left(a-2\right)^2\)

Mặt khác \(1-a=\sqrt{2}a^2>0\Rightarrow a< 1\)

\(\Rightarrow\sqrt{2\left(2a^4-2a+3\right)}+2a^2=\sqrt{2\left(a-2\right)^2}+2a^2=\sqrt{2}\left(2-a\right)+2a^2\)

\(=\sqrt{2}\left(\sqrt{2}a^2-a+2\right)=\sqrt{2}\left(1-a-a+2\right)=\sqrt{2}\left(3-2a\right)\)

\(\Rightarrow C=\dfrac{2a-3}{\sqrt{2}\left(3-2a\right)}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)