a: \(AB=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}\left(cm\right)\)

\(AC=\sqrt{6^2+9^2}=3\sqrt{13}\left(cm\right)\)

Xét ΔABC có \(AB^2+AC^2=BC^2\)

nên ΔABC vuông tại A

b: HD=AH=6cm

=>DC=3cm

Xét ΔCAH có DE//AH

nên CE/CA=CD/CH

=>\(\dfrac{CE}{3\sqrt{13}}=\dfrac{1}{3}\)

hay \(CE=\sqrt{13}\left(cm\right)\)

=>\(AE=2\sqrt{13}\left(cm\right)=AB\)

a, Xét ΔABH vuông tại H có :

AB^2 = HA^2 + BH^2 ( theo định lí Pytago )

AB^2 = 62+ 42 = 52 ( cm )

Chứng minh tương tự ta được AC = 117 ( cm )

Ta có : AB^2 = 52 cm

AC^2 = 117 cm

BC^2 = 169 cm

Mà AB^2 + AC^2 = 169 
⇒BC^2 = AB^2 + AC^2

⇒ΔABC vuông tại A

Chúc bạn học tốt

a: Xét ΔEMH có

EP vừa là đường cao, vừa là trung tuyến

=>ΔEMH cân tại E

Xét ΔFHN có

FQ vừa là đường cao, vừa là trung tuyến

=>ΔFHN cân tại F

b:

Xét ΔAMH có

AP vừa làđường cao, vừa là trung tuyến

=>ΔAMH cân tại A

=>AM=AH

Xét ΔAHN có AQ vừa là đường cao, vừa là trung tuyến

=>ΔAHN cân tại A

=>AH=AN=AM

Xét ΔAME và ΔAHE có

AM=AH

góc MAE=góc HAE

AE chung

=>ΔAME=ΔAHE

=>góc AME=góc AHE

Xé ΔAHF và ΔANF có

AH=AN

góc HAF=góc NAF

AF chung

=>ΔAHF=ΔANF

=>góc AHF=góc ANF

=>góc AHE=góc AHF

=>HA là phân giác của góc EHF

a,  xét ΔABD và ΔABH có : AB chung

AH = AD  (gt)

^DAB = ^ABH = 90

=> ΔABD = ΔABH (2cgv)

=> BD = BH (định nghĩa)

=> ΔBDH cân tại B (định nghĩa)

b. D là trung điểm của AC (gt) => AD = AC/2 (tính chất)

AB = AC/2

=> AD = AB = AC/2

AD = 5 cm (gt)

=> AB = 5 và AC = 10

ΔABC vuông tại A (gt) => AB^2 + AC^2 = BC^2 (Pytago)

=> BC^2 = 125

=> BC = \(\sqrt{125}\) do BC > 0

c,  có AD = AC/2 (câu b)

AD = AH (Gt)

=> AD + AH = 2.AC/2

=> AD = AC          (1)

có E thuộc đường tròn tâm D bán kính BC (gt)

=> DE = BC

xét ΔEADvà ΔBAC có : ^EAD = ^CAB = 90             và (1)

=> ΔEAD = ΔBAC (ch-cgv)

=> HE = AB mà AB = AD (câu b)

=> HE = AD

d, 

1, Xét \(\Delta ABH\) vuông tại H có:

\(AB^2=HA^2+BH^2\)

\(\Rightarrow AB^2=6^2+4^2=52\left(cm\right)\)

Chứng minh tương tự ta được \(AC^2=117\left(cm\right)\)

Ta có: \(AB^2=52\left(cm\right);AC^2=117\left(cm\right);BC^2=169\left(cm\right)\) 

mà: \(AB^2+AC^2=169\Rightarrow BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại A

Vậy \(\Delta ABC\) vuông cân tại A

2, Theo định lý Ta-lét ta có:

\(\dfrac{DC}{HC}=\dfrac{ED}{AH}\Rightarrow ED=\dfrac{3}{9}.6=2\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow EC=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\)

\(\Rightarrow AE=\sqrt{117}-\sqrt{13}=\sqrt{52}=AB\)

Vậy \(AE=AB\)