Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a^2-bc=x\\b^2-ca=y\\c^2-ab=z\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x+y+z\ge0\)

\(\)Đẳng thức cần c/m trở thành: \(x^3+y^3+z^3\ge3xyz\left(1\right)\)

Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM cho 3 số x,y,z, ta có:

\(x^3+y^3+z^3\ge3\sqrt[3]{x^3.y^3.z^3}=3xyz\)

=> Đẳng thức (1) luôn đúng với mọi x

Dấu = xảy ra khi: x=y=z hay \(a^2-bc=b^2-ca=c^2-ab\)

và \(a^2+b^2+c^2-\left(ab+bc+ca\right)=0\)\(\Rightarrow a=b=c\)

Lời giải:

Ba số thực $a,b,c$ cần có thêm điều kiện không âm mới đúng.

BĐT cần chứng minh tương đương với:

$ab^3+bc^3+ca^3+2abc(a+b+c)\leq a^3b+b^3c+c^3a+ab^3+bc^3+ca^3+abc(a+b+c)$

$\Leftrightarrow abc(a+b+c)\leq a^3b+b^3c+c^3a(*)$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(a^3b+b^3c+c^3a)(abc^2+bca^2+cab^2)\geq (a^2bc+b^2ca+c^2ab)^2$

$\Rightarrow a^3b+b^3c+c^3a\geq abc(a+b+c)$

BĐT $(*)$ đúng nên ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

SOS là ra, khá đơn giản. Ta có:

$$\text{VP}-\text{VT}=ab \left( -c+a \right) ^{2}+ca \left( b-c \right) ^{2}+cb \left( a-b
\right) ^{2}\geqq 0.$$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c.$

a,b,c>0 

\(VP-VT=a^3b+b^3c+c^3a-abc\left(a+b+c\right)=abc\Sigma\frac{\left(a-b\right)^2}{a}\ge0\)

a) \(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\left(ab+bc+ac\right)\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ac\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2=0\\\left(b-c\right)^2=0\\\left(c-a\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=c}\)

=> ĐPCM

b) \(\left(a+b+c\right)^2=3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=3a^2+3b^2+3c^2\)

\(\Leftrightarrow-2a^2-2b^2-2c^2+2ab+2bc+2ac=0\)

\(\Leftrightarrow-\left(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac\right)=0\)

\(\Leftrightarrow-\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=c}\)

=> ĐPCM

c) \(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ac\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=3ab+3bc+3ac\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=c}\)

=> ĐPCM

tách hết ra rồi chuyển vế đổi dấu ra... => ĐPCM

Vì a=b=c nên ta có:

\(3\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=3\left(b^2+b^2+b^2-b^2-b^2-b^2\right)=0\left(1\right)\)

\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\left(2\right)\)

Từ (1) và (2)\(\Rightarrow\)đpcm

@Bùi Hiền

Theo bđt Cauchy - Schwart ta có:

\(\text{Σ}cyc\frac{c}{a^2\left(bc+1\right)}=\text{Σ}cyc\frac{\frac{1}{a^2}}{b+\frac{1}{c}}\ge\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+a+b+c}\)\(=\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+3}\)

\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{abc\left(ab+bc+ca\right)+3a^2b^2c^2}\)

Đặt \(ab+bc+ca=x;abc=y\).

Ta có: \(\frac{x^2}{xy+3y^2}\ge\frac{9}{x\left(1+y\right)}\Leftrightarrow x^3+x^3y\ge9xy+27y^2\)

\(\Leftrightarrow x\left(x^2-9y\right)+y\left(x^3-27y\right)\ge0\) ( luôn đúng )

Vậy BĐT đc CM. Dấu '=' xảy ra <=> a=b=c=1

sai rồi nhé bạn 

làm sao mà \(x\left(x^2-9y\right)+y\left(x^3-27y\right)\ge0\)lại luôn đúng

Có :

\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\)

\(=a^2+b^2-2ab+b^2+c^2-2bc+c^2+a^2-2ac\)

\(=2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ab\)

\(3\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)

\(=3a^2+3b^2+3c^2-3ab-3bc-3ac\)

\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ab=3a^2+3b^2+3c^2-3ab-3bc-3ac\)

Trừ cả 2 vế đi \(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc;\)có :

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-bc-ca-ac=0\)

\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2-bc-ca-ac\right)=0.2\)

\(\Rightarrow\left(a^2+b^2-2ab\right)+\left(b^2+c^2-2bc\right)+\left(a^2+c^2-2ab\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

Mà \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\\\left(b-c\right)^2\ge0\\\left(c-a\right)^2\ge0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow a-b=b-c=c-a=0\)

\(\Rightarrow a=b=c\)

Vậy ...