hello

Bài 1: Gọi ước chung lớn nhất của n + 1 và 7n + 4 là d

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}n+1⋮d\\7n+4⋮d\end{matrix}\right.\) ⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}7n+7⋮d\\7n+4⋮d\end{matrix}\right.\) ⇒ 7n+ 7 - 7n - 4 ⋮ d

⇒ (7n - 7n) + (7 - 4) ⋮ d ⇒0 + 3 ⋮ d ⇒ 3 ⋮ d ⇒ d \(\in\) Ư(3) = {1; 3}

Nếu n = 3 thì n + 1 ⋮ 3 ⇒ n = 3k - 1 khi đó hai số sẽ không nguyên tố cùng nhau.

Vậy để hai số nguyên tố cùng nhau thì n \(\ne\) 3k - 1

Kết luận: n \(\ne\) 3k - 1 

Ta có: \(n^4+n^3+n^2=n^2\left(n^2+n+1\right)\)

Theo đề ra thì \(n^2\left(n^2+n+1\right)\) mà \(n^2\)là một số chính phương \(\Rightarrow n^2+n+1\)là 1 số chính phương.

Gọi \(n^2+n+1=k^2\) =>\(4n^2+4n+1+3\)= \(4k^2\)

=> \(\left(2n+1\right)^2+3=4k^2\) => \(\left(2k-2n-1\right)\left(2k+2n+1\right)=3\)

\(\Leftrightarrow2k-2n-1;2k+2n+1\inƯ\left(3\right)=\left\{3;1;-3;-1\right\}\)Và \(2k-2n-1;2k+2n+1\)phải đồng âm hoặc đồng dương,

Ta có bảng sau: 

Vậy n thỏa mãn đề bài là n=0 hoặc n=-1

a, Vì n \(\in\)N => n²  là số chính phương

mà 9 = 3² là số chính phương

=> n² + 9 là số chính phương.

Vậy A = n² + 9 là số chính phương.

CHÚC BẠN HỌC TỐT!!!!

Vì A=n²+9 là SCP
Đặt A=n²+9=m² (m thuộc N)

<=> 9=m²-n²

<=> 9=(m-n)(m+n)

Vì n thuộc N => m-n thuộc Z, m+n thuộc N

=> m-n,m+n thuộc Ư(9)

mà m+n>m-n

nên \(\left\{{}\begin{matrix}m+n=9\\m-n=1\end{matrix}\right.\)<=>\(\left\{{}\begin{matrix}m=5\\n=4\end{matrix}\right.\)(thỏa mãn)

 Vậy A là SCP <=>n=4

Vì n thuộc N* => n thuộc {1;2;3;4;...}

Ta xét các trường hợp sau :

+ nếu n=1

Khi đó : A=1!=1=1²-là số chính phương ( thỏa mãn )

+ nếu n=2

Khi đó : A=1!+2!=1+1x2=3-không là số chính phương (loại)

+Nếu n=3

khi đó : A=1!+2!+3!=1+1x2+1x2x3=1+2+6=9=3²-là số chính phương (thỏa mãn)

+Với n>hoặc=4

Ta có : A= 1!+2!+3!+4!=1+1x2+1x2x3+1x2x3x4=1+2+6+24=33 có chữ số tận cùng là 3

Mà 5!;6!;7!;...;n! có chữ số tận cùng là 0

=>A=1!+2!+3!+4!+...+n! có chữ số tận cùng là 3(với n>hoặc = 4)

Mà số chính phương không thể có chữ số tận cùng là 3

Nên A=1!+2!+3!+4!+...+n!không là số chính phương (với n> hoặc =4)

Vậy n thuộc { 1;3 } thì A=1!+2!+3!+...+n! là số chính phương

(+) Với n = 1

=> A=1 ( là số chính phương )

(+) Với n = 2

=> A = 3 ( không phải là số chính phương )

(+) ......

(+) Với \(n\ge4\)

Ta có : 1! + 2! + 3! + 4! = 33 có tận cúng là mà .

Mặt khhacs các số 5! ; 6! ; ... luôn có tận cùng = 0

=> A có tận cung là 3

Mà số chính phương không bao giờ có tận cùng là 3 .

=> n = 1

Vậ n = 1

Với n =1 thì 1! =1=1^2 là số chính phương

Với n=2 thì 1! +2! =3 không là số chính phương

Với n=3 thì 1!+2!+3!=1+1.2 +1.2..3=9=3^2 là số chính phương

n=4 tận cùng là 3 nên không là số chính Phương

Vậy N=1 và 3