Đề là MA + MB + MC + MD nha bạn!

Ta có: chu vi tứ giác = AB + BC + DC + AD
Theo bất đẳng thức tam giác:
MA + MB > AB
MB + MC > BC
MC + MD > DC
MD + MA > AD
=> MA + MB + MB + MC + MC + MD + MD + MA  > AB + BC + DC + AD
=> 2MA + 2MB + 2MC + 2MD > AB + BC + DC + AD
=> 2(MA + MB + MC + MD) > AB + BC + DC + AD
=> MA + MB + MC + MD > \(\frac{1}{2}\)(AB + BC + DC + AD) (1)
Ta có MA + MB + MC + MD = AC + BD
Mà AC < AB + BC
      AC < AD + DC
=> 2AC < AB + BC + DC + AD
Tương tự với BD
=> 2BD < AB + BC + DC + AD
=> 2AC + 2BD < 2(AB + BC + DC + AD)
=> 2(AC + BD) < 2(AB + BC + DC + AD)
=> AC + BD > AB + BC + DC + AD (2)
Từ (1) và (2) => đpcm

Xét tam giác ABM; tam giác BCM; tam giác ADM; tam giác CDM ta có:

\(AM+BM>AB;BM+CM>BC;AM+DM>AD;CM+DM>CD\)

(áp dụng bất đẳng thức tam giác)

\(\Rightarrow AM+BM+BM+CM+AM+DM+CM+DM>AB+BC+AD+CD\)

\(\Rightarrow2.\left(AC+BD\right)>AB+BC+CD+AD\)(1)

\(\Rightarrow AC+BD>\dfrac{AB+BC+CD+AD}{2}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra:

\(\dfrac{AB+BC+CD+AD}{2}< AC+BD< AB+BC+CD+AD\)

Vậy trong 1 tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy(đpcm)

Chúc bạn học tốt!!!

Bạn tìm câu hỏi tương tự mình nhớ là cái này mình làm 3 lần rồi!

. a) Sử dụng tính chất tổng hai cạnh trong một tam giác thì lớn hơn cạnh còn lại cho các tam giác OAB, OBC,OCD và ODA.

b) Chứng minh tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi tứ giác sử dụng kết quả của a).

Chứng minh tổng hai đường chéo nhỏ hơn chu vi tứ giác sử dụng tính chất tổng hai cạnh trong một tam giác thì lớn hơn cạnh còn lại cho các tam giác ABC, ADC, ABD và CBD

Dùng bất đẳng thức tam giác bạn ơi

b) Gọi tứ giác cần chứng minh là ABCD, giao điểm hai đường chéo AC và BD là O

Xét ΔABO có AO+OB>AB

Xét ΔCOD có OC+OD>CD

Xét ΔAOD có OA+OD>AD

Xét ΔBOC có OB+OC>BC

Ta có: AC+BD=AO+OB+OC+OD

\(\Leftrightarrow AC+BD>AB+CD\)

Ta có: AC+BD=AO+OD+OB+OC

\(\Leftrightarrow AC+BD>AD+BC\)

mà AC+BD>AB+CD

nên \(2\left(AC+BD\right)>AB+AD+BC+CD\)

\(\Leftrightarrow AC+BD>\dfrac{AB+AD+BC+CD}{2}\)

Xét ΔABD có BD<AB+AD

Xét ΔCBD có BD<BC+CD

Xét ΔABC có AC<AB+BC

Xét ΔADC có AC<AD+DC

Do đó: BD+BD+AC+AC<2(AB+AD+CD+BC)

\(\Leftrightarrow AC+BD< AB+AD+CD+BC\)(2)

Từ (1) và (2) ta suy ra ĐPCM