\(A=\dfrac{3}{\left(1.2\right)^2}+\dfrac{5}{\left(2.3\right)^2}+...+\dfrac{4033}{\left(2016.2017\right)^2}\)

\(=\dfrac{3}{1.2^2}+\dfrac{5}{2^2.3^2}+...+\dfrac{4033}{2016^2.2017^2}\)

\(=\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^2}-\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{2016^2}-\dfrac{1}{2017^2}\)

\(=1-\dfrac{1}{2017^2}< 1\)

\(\Rightarrow A< 1\left(đpcm\right)\)

Vậy...

Đối với dạng này ta dùng công thức \(a\cdot\left(a+1\right)=\dfrac{1}{3}\left[a\cdot\left(a+1\right)\cdot\left(a+2\right)-\left(a-1\right)\cdot a\cdot\left(a+1\right)\right]\)

Ta có:

\(1\cdot2=\dfrac{1}{3}\left(1\cdot2\cdot3-0\cdot1\cdot2\right)\)

\(2\cdot3=\dfrac{1}{3}\left(2\cdot3\cdot4-1\cdot2\cdot3\right)\)

$\cdots$

\(2016\cdot2017=\dfrac{1}{3}\left(2016\cdot2017\cdot2018-2015\cdot2016\cdot2017\right)\)

Cộng lại ta có: \(1\cdot 2 +2\cdot 3 +3 \cdot 4 +\cdots +2016\cdot 2017=\dfrac{1}{3} (2016\cdot 2017 \cdot 2018-0\cdot 1 \cdot 2)=\dfrac{1}{3}\cdot 2016\cdot 2017 \cdot 2018 \)

Thay vào $A$ thu được $A=672.$

\(B=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+...+\dfrac{1}{2016}-\dfrac{1}{2017}\)

\(B=1-\dfrac{1}{2017}\)

\(B=\dfrac{2017}{2017}-\dfrac{1}{2017}\)

\(B=\dfrac{2016}{2017}\)

câu này truong minh lm hoai a

A = \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{2016.2017}\)

A = \(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2016}-\frac{1}{2017}\)

A = \(1-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\right)-...-\left(\frac{1}{2016}-\frac{1}{2016}\right)-\frac{1}{2017}\)

A = \(1-0-0-0...-0-\frac{1}{2017}\)

A = \(1-\frac{1}{2017}< 1\)

\(A=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{2016.2017}\)

\(A=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2016}-\frac{1}{2017}\)

\(A=1-\frac{1}{2017}=\frac{2016}{2017}< \frac{2017}{2017}=1\)

=> A<1(đpcm)

\(A=\left(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{2016.2017}\right):2\)

\(=\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2016}-\frac{1}{2017}\right):2\)

\(=\left(1-\frac{1}{2017}\right):2\)\(< \)\(\frac{1}{2}\)   (Do 1 - 1/2017 < 1)

Câu 1:

a) Gọi biểu thức đó là A

Ta có công thức \(\frac{a}{b.c}=\frac{a}{c-b}.\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)\)

Dựa vài công thức ta có ;

\(A=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+.....+\frac{1}{19}-\frac{1}{20}\)

\(A=\frac{1}{2}-\frac{1}{20}=\frac{9}{20}\)

b) Gọi biểu thức đó là S

\(S=\left(-\frac{1}{2}\right).\left(-\frac{2}{3}\right).\left(-\frac{3}{4}\right).....\left(-\frac{2016}{2017}\right)\)

\(S=-\left(\frac{1.2.3.4....2016}{2.3.4.5....2017}\right)=-\left(\frac{1}{2017}\right)=-\frac{1}{2017}\)

Rất tiếc nhưng phần c mink ko biết làm, để mink nghĩ đã

Câu 2 :

a) \(\frac{5}{n+1}\)

Để 5/n+1 là số nguyên thì n + 1 là ước nguyên của 5

n+1=1 => n = 0

n + 1 =5 => n = 4

n+1=-1 => n =-2

n+1 = -5 => n = -6

b) \(\frac{n-6}{n+1}=\frac{n+1-7}{n+1}=1-\frac{7}{n+1}\)

Để biểu thức là số nguyên thì n + 1 là ước của 7

n + 1 = 1 => n= 0

n+1=7=> n =6

n + 1 = -7 => n =-8

n+1=-1 => n= -2

c)  \(\frac{2n+7}{n+1}=\frac{2\left(n+1\right)+6}{n+1}=2+\frac{6}{n+1}\)

Để biểu thức là số nguyên thì n+1 là ước của 6

Từ đó KL giá trị n

CÂU 3 :

b) \(A=\frac{x-1}{x+2}=\frac{x+2-3}{x+2}=1-\frac{2}{x+2}\)

Rồi bạn thử từng x khi nào thấy A = 2 thì chọn nha!!

Ai thấy đúng thì ủng hộ nha !!!

câu 1 :

a) \(\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{19+20}\)

\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{19}-\frac{1}{20}\)

\(=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\right)+\left(-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)+...+\left(-\frac{1}{19}+\frac{1}{19}\right)-\frac{1}{20}\)

\(=\frac{1}{2}+0+0+0+...+0-\frac{1}{20}\)

\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{20}=\frac{9}{20}\)

b) \(\left(\frac{1}{2}-1\right).\left(\frac{1}{3}-1\right).\left(\frac{1}{4}-1\right)...\left(\frac{1}{2017}-1\right)\)

\(=\left(-\frac{1}{2}\right).\left(-\frac{2}{3}\right).\left(-\frac{3}{4}\right)...\left(-\frac{2016}{2017}\right)\)

Vì phép nhân có thể rút gọn 

Nên \(-1.\frac{-1}{2017}=\frac{1}{2017}\)

Câu 2 : 

a) Ta có : \(\frac{5}{n+1}\)

Để \(\frac{5}{n+1}\in Z\Leftrightarrow5⋮n+1\Leftrightarrow n+1\inƯ_{\left(5\right)}=\){ -1; 1; -5; 5 }

Với n + 1 = -1 => n =  -1 - 1 = - 2 ( TM )

Với n + 1 = 1 => n = 1 - 1 = 0 ( TM )

Với n + 1 = - 5 => n = - 5 - 1 = - 6 ( TM )

Với n + 1 = 5 => n = 5 - 1 = 4 ( TM )

Vậy Với n \(\in\){ - 2; 1; - 6; 4 } thì 5 \(⋮\)n + 1

Còn câu b nữa tương tự nha

" TM là thỏa mản "