\(\left(1+\frac{b}{a}\right)\left(1+\frac{c}{b}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)=8\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}=8\)

Ta có (a +b)² >=4ab với mọi a,b>0. Dấu = xảy ra <=> a = b

(b+c)² >=4bc, với mọi b,c >0. Dấu = xảy ra <=> b = c

(c+a)² >=4ca, với mọi a,b>0. Dấu = xảy ra <=> c = a

=> (a+b)²(b+c)²(c+a)² >=64a²b²c² (a,b,c >0)

=> (a+b)(b+c)(c+a) >=8abc => (a+b)(b+c)(c+a)/abc >=8

Dấu = xảy ra <=> a = b = c <=> Tam giác đều

Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho 3 số dương a, b, c

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)    ;  \(b+c\ge2\sqrt{bc}\);   \(c+a\ge\sqrt{ca}\)

Nhân các vế của BĐT \(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)

Dấu " = " xảy ra khi a = b = c => tam giác đó đều

Do a,b,c là 3 cạnh là 3 cạnh tam giác =>a,b,c>0

Áp dụng BĐT co si cho 2 số dương ta có:

a+b\(\ge2\sqrt{ab}\)

b+c\(\ge2\sqrt{bc}\)

a+c\(\ge2\sqrt{ac}\)

=>(a+b)(b+c)(c+a)>\(2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ac}=8\sqrt{a^2b^2c^2}=8abc\)

Dấu bằng xảy ra <=>a=b b=c c=a=>a=b=c

Mà theo đề bài (a+b)(b+c)(c+a)=8abc

=>a=b=c=>tam giác đó là tam giác đều

co cach khac khong , minh chua hoc bat dang thuc cosi

bạn Tham khảo bài bạn này 

Vì a,b,c là độ dài 2 cạnh của tam giác .Áp dụng BĐT Cô si ta có:

a+b>=2x căn(ab)

b+c>= 2x căn(bc)

c+a>= 2x căn(ac)

Nhân vế theo vế ta được (a+b)(b+c)(c+a) >=8abc

Dấu = xảy ra <=> a=b;b=c;c=a => a=b=c => tam giác đó là tam giác đều

Ta có : a+b > c , b+c > a , c+a > b

Xét : \(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}>\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{b+c+a}=\frac{2}{a+b+c}>\frac{2}{a+b+a+b}=\frac{1}{a+b}\)

Tương tự , ta cũng có : \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}>\frac{1}{a+c};\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}>\frac{1}{b+c}\)

Vậy ta có đpcm

Chú ý : a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác chứ không phải a+b,b+c,c+a nhé :)

Tham khảo