\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{x+y+z}{x\left(y+z\right)}=\frac{1}{2}\\\frac{x+y+z}{y\left(z+x\right)}=\frac{1}{3}\\\frac{x+y+z}{z\left(x+y\right)}=\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\) lần lượt chia vế cho vế ta được hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{y\left(z+x\right)}{x\left(y+z\right)}=\frac{3}{2}\\\frac{z\left(x+y\right)}{x\left(y+z\right)}=2\\\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2yz=xy+3zx\\yz=2xy+xz\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2yz=xy+3zx\\3yz=6xy+3zx\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow yz=5xy\Rightarrow z=5x\)

Thế vào \(yz=2xy+zx\Rightarrow5xy=2xy+5x^2\)

\(\Leftrightarrow3xy=5x^2\Rightarrow y=\frac{5x}{3}\)

Thế vào pt đầu: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{\frac{5x}{3}+5x}=\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{23}{20x}=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{23}{10}\)

\(\Rightarrow y=\frac{23}{6};z=\frac{23}{2}\)

b/ Do các vế trái đều ko âm nên x;y;z không âm

- Nhận thấy nếu 1 biến bằng 0 thì 2 biến còn lại cũng bằng 0 nên \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;0\right)\) là 1 nghiệm

- Với \(x;y;z>0\) ta có:

\(y=\frac{2x^2}{x^2+1}\le\frac{2x^2}{2\sqrt{x^2.1}}=x\Rightarrow y\le x\)

Tương tự: \(z=\frac{2y^2}{1+y^2}\le y\) ; \(x=\frac{2z^2}{1+z^2}\le z\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y\le x\\z\le y\\x\le z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=z\)

Thay vào pt đầu:

\(\frac{2x^2}{1+x^2}=x\Leftrightarrow\frac{2x}{1+x^2}=1\Leftrightarrow2x=x^2+1\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=0\Rightarrow x=y=z=1\)

Vậy: \(\left[{}\begin{matrix}x=y=z=0\\x=y=z=1\end{matrix}\right.\)

Ta có : x/3=y/2      = x/12 = y /8 

         y/4=z/5       = y/8 = z/10 ( mình biến đổi sao cho y có mẫu chung là 8 ý bạn )

   => x/12=y/8=z/10 = -x-y+z/ -12-8+10 

                               = -10/-10 =1

=> x = 1.12=12

     y=1.8=8

    z=1.10=10

\(x\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+y\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)+z\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=-2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)

Ta lại có: 

\(x^3+y^3+z^3=\left(x+y+z\right)^3-3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=\left(x+y+z\right)^3=1\)

\(\Leftrightarrow x+y+z=1\)

Làm nốt

Tiếp tục:\(-A=\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}\)

thay(1) vào A ta có

\(-A=\frac{y^3+z^3-\left(y+z\right)^3}{2xyz}=\frac{y^3+z^3-y^3-z^3-3yz\left(y+z\right)}{2xyz}\)

\(-A=\frac{3xyz}{2xyz}=\frac{3}{2}\Rightarrow A=\frac{-3}{2}\)

P/s tham khảo bài mình nhé nhớ

ta có:\(x+y+z=0\) \(\Rightarrow x=-\left(y+z\right)\)

\(\Rightarrow x^3=-\left(y+z\right)^3\left(1\right)\)\(;x^2=\left(y+z\right)^2\)

\(\Rightarrow y^2+z^2-x^2=-2yz\)

CMTT:\(z^2+x^2-y^2=-2xz;x^2+y^2-z^2=-2xy\)

thay vào A ta có:

\(A=\frac{-x^2}{2yz}+\frac{-y^2}{2xz}+\frac{-z^2}{2xy}\)

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1^2}{x}+\frac{1^2}{y}+\frac{1^2}{z}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}=\frac{9}{x+y+z}\)( Bất đẳng thức Svac-xơ )

Dấu = xảy ra khi \(\frac{1}{x}=\frac{1}{y}=\frac{1}{z}\)

BĐT trên 

\(< =>\frac{xy+yz+xz}{xyz}\ge\frac{9}{x+y+z}\)

\(< =>\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)\ge9xyz\)

Áp dụng BĐT cô si cho 3 số :

\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\)

\(xy+yz+xz\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\)

Nhân vế với vế : \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)\ge3\sqrt[3]{xyz}.3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}=9xyz\)

Nên ta có đpcm

Tham khảo các cách làm hay tại đây:

Câu hỏi của Sherlock Shinichi - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Vào TKHĐ của mình mà bấm link nhé ;)

+)Xét x+y+z khác 0

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{x}{y+z+1}=\frac{y}{x+z+2}=\frac{z}{x+y-3}=\frac{x+y+z}{y+z+1+x+z+2+x+y-3}=\frac{x+y+z}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{2}\)

=>x+y+z=1/2

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2x=y+z+1\\2y=x+z+2\\2z=x+y-3\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3x=x+y+z+1\\3y=x+y+z+2\\3z=x+y+z-3\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}3x=\frac{1}{2}+1\\3y=\frac{1}{2}+2\\3z=\frac{1}{2}-3\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\y=\frac{5}{6}\\z=\frac{-5}{6}\end{cases}}}\)

+)Xét x+y+z=0

=>x/y+z+1=y/x+z+2=z/x+y-3=0

=>x=y=z=0