Đề có bị sai không bạn theo mình thì phải là \(\ge8\) mới đúng

Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số thực không âm ta có :

\(\dfrac{a^2}{b-1}+4\left(b-1\right)\ge2\sqrt{\dfrac{a^2}{b-1}\times4\left(b-1\right)}=4a\) (1)

\(\dfrac{b^2}{a-1}+4\left(a-1\right)\ge2\sqrt{\dfrac{b^2}{a-1}\times4\left(a-1\right)}=4b\) (2)

Cộng (1) và (2) vế theo vế ,ta được :

\(\dfrac{a^2}{b-1}+\dfrac{b^2}{a-1}+4a+4b-8\ge4a+4b\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{b-1}+\dfrac{b^2}{a-1}\ge8\)

Dấu "="xảy ra khi:a=b=2

Vậy \(\dfrac{a^2}{b-1}+\dfrac{b^2}{a-1}\ge8\) với a>1,b>1

\(a)\;sin(\alpha  + \beta ).sin(\alpha  - \beta ) = \;\frac{1}{2}.\left[ {cos\left( {\alpha  + \beta  - \alpha  + \beta } \right) - cos\left( {\alpha  + \beta  + \alpha  - \beta } \right)} \right]\)

\(\begin{array}{l} = \;\frac{1}{2}.(cos2\beta  - cos2\alpha ) = \;\frac{1}{2}.(1 - 2si{n^2}\beta  - 1 + 2si{n^2}\alpha )\\ = si{n^2}\alpha  - si{n^2}\beta \end{array}\)

\(\begin{array}{l}b)\;co{s^4}\alpha  - co{s^4}\left( {\alpha  - \frac{\pi }{2}} \right) = \;co{s^4}\alpha  - si{n^4}\alpha \\ = \;(co{s^2}\alpha  + si{n^2}\alpha )(co{s^2}\alpha  - si{n^2}\alpha )\\ = \;co{s^2}\alpha -si{n^2}\alpha  = cos2\alpha .\end{array}\)

Ta có :)

\(\hept{\begin{cases}a^2+b^2\ge2\sqrt{a^2b^2}=2|ab|\\b^2+c^2\ge2\sqrt{b^2c^2}=2|bc|\\c^2+a^2\ge\sqrt{c^2a^2}=2|ca|\end{cases}}\Rightarrow\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)\left(c^2+a^2\right)\ge8|\left(abc\right)^2|=8a^2b^2c^2\)

(vì a²+b²; b²+c²; c²+a²;|ab|;|bc|;|ca| đều \(\ge0\))

Ta có : \(\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+2ab\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

Có : \(a,b\ge0\)

\(\Rightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) ( đpcm )

Vậy ...

Ta có : 
VT = a²(b-c) + b²(c-a) + c²(a-b)
= a²b - a²c + b²c - b²a + c²a - c²b
= ( a²b - b²a ) - ( a²c - b²c ) + ( c²a - c²b )
= ab(a-b) - c(a²-b²) + c²(a-b)
= ab(a-b) - c(a-b)(a+b) + c²(a-b)
=(a-b) [ ab - c(a+b) + c² ] 
= (a-b) [ ab-ca-cb+c² ]
= (a-b) [ b(a-c) - c(a-c) ]
= (a-b)(a-c)(b-c)
= (a-c)(b-a)(c-b)
Mà VP = (a-c)(b-a)(c-b)
⇒ VT = TP
⇒ a² (b-c) + b² ( c-a ) + c² ( a-b) = (a-c)(b-a)(c-b)
Chép lẹ ii coan , nhanh ko mai m chết vs thầy :))

mình ko biết, bạn k nha

Cái cậu Nguyễn Minh Tuấn kia đã không lm bài rồi lại còn yêu cầu người khác k nữa

Nàng công chúa lạnh lùng bạn biết ko 

\(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\Leftrightarrow\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a-2\sqrt{ab}+b}{2}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{2}\ge0\)

Dấu ''='' xảy ra khi a = b 

CM theo bdt co-si

Áp dụng bdt Co - si cho cặp số dương a²/c và c

Ta có: \(\frac{a^2}{c}+c\ge2\sqrt{\frac{a^2}{c}.c}=2a\)(1)

CMTT: \(\frac{b^2}{a}+a\ge2b\)(2)

         \(\frac{c^2}{b}+b\ge2c\)(3)

Từ (1); (2) và (3) cộng vế theo vế, ta có:

\(\frac{a^2}{c}+c+\frac{b^2}{a}+a+\frac{c^2}{b}+b\ge2a+2b+2c\)

<=> \(\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\ge2a+2b+2c-a-b-c=a+b+c\)(Đpcm)

\(\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c