1. 

+) Tứ giác ABCD kà hình thang cân => góc ADC = BCD và AD = BC

=> tam giác ODC cân tại O => OD = OC  

 mà AD = BC => OA = OB

+) tam giác ODB và OCA có: OD = OC; góc DOC chung ; OB = OA 

=> Tam giác ODB = OCA (c - g - c)

=> góc ODB = OCA mà góc ODC = OCD => góc ODC - ODB = OCD - OCA

=> góc EDC = ECD => tam giác EDC cân tại E => ED = EC (2)

Từ (1)(2) => OE là đường  trung trực của CD

=> OE vuông góc CD mà CD // AB => OE vuông góc với AB

Tam giác OAB cân tại O có OE là đường cao nên đồng thời là đường  trung trực

vậy OE là đường trung trực của AB

ta có MNPQ là hình thang=>MN//PQ

mà \(=\angle\left(NMP\right)=\angle\left(MNQ\right)=>\angle\left(NQP\right)=\angle\left(MPQ\right)\)

=>tam giác MNO cân tại O=>MO=NO

=>tam giác QOP cân tại O=>OQ=Op

=>MO+OP=NO+OQ=>NQ=MP

=>MNPQ là hình thang cân

\(=>\angle\left(M\right)=\angle\left(N\right)\left(1\right)\)

\(\angle\left(Q\right)=\angle\left(P\right)\left(2\right)\)

mà EF//PQ=>EF//MN

=>MNFE là hình thang(3)

từ (1)(3)=>MNFE là hình thang cân

=>EFPQ là hình thang(4)

(2)(4)=>EFPQ là hình thang cân

Ta có: \(\widehat{OMN}=\widehat{OPQ}\)

\(\widehat{ONM}=\widehat{OQP}\)

mà \(\widehat{OMN}=\widehat{ONM}\)

nên \(\widehat{OPQ}=\widehat{OQP}\)

Xét ΔOMN có \(\widehat{OMN}=\widehat{ONM}\)

nên ΔOMN cân tại O

Xét ΔOPQ có \(\widehat{OPQ}=\widehat{OQP}\)

nên ΔOPQ cân tại O

Ta có: OM+OP=MP

ON+OQ=QN

mà OM=ON

và OP=OQ

nên MP=QN

Hình thang MNPQ có MP=QN

nên MNPQ là hình thang cân

Suy ra: \(\widehat{EMN}=\widehat{FNM}\) và \(\widehat{EQP}=\widehat{FPQ}\)

Hình thang EMNF có \(\widehat{EMN}=\widehat{FNM}\)

nên EMNF là hình thang cân

Hình thang EQPF có \(\widehat{EQP}=\widehat{FPQ}\)

nên EQPF là hình thang cân

a: Xét ΔABC có

\(\dfrac{AN}{AB}=\dfrac{AM}{AC}\)

Do đó: MN//BC

Xét tứ giác BNMC có MN//BC

nên BNMC là hình thang

mà \(\widehat{NBC}=\widehat{MCB}\)

nên BMNC là hình thang cân

a: Xét ΔABC có 

N là trung điểm của AB

M là trung điểm của AC

Do đó: NM là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: NM//BC

Xét tứ giác BNMC có NM//BC

nên BNMC là hình thang

mà \(\widehat{B}=\widehat{C}\)

nên BNMC là hình thang cân

∆ ACD = ∆ BDC (c.c.c)

Suy ra 

⇒ Tam giác ICD cân tại I.

do đó ID = IC (1)

Tam giác KCD có hai góc ở đáy bằng nhau ∠ C =  ∠ D nên tam giác KCD cân tại K

⇒ KD = KC (2)

Từ (1) và (2) suy ra KI là đường trung trực của CD.

Chứng minh tương tự có IA = IB, KA = KB

Suy ra KI là đường trung trực của AB

Xét ΔQDC có AB//DC

nên QA/AD=QB/BC

mà AD=BC

nên QA=QB

QA+AD=QD

QB+BC=QC

mà QA=QB và AD=BC

nên QD=QC

Xét ΔABD và ΔBAC có

AB chung

BD=AC

AD=BC

=>ΔABD=ΔBAC

=>góc DBA=góc BAC

=>góc PAB=góc PBA

=>PA=PB

PA+PC=AC

PB+PD=BD

mà PA=PB và AC=BD

nên PC=PD

PA=PB

QA=QB

=>PQ là trung trực của AB

PD=PC

QD=QC

=>PQ là trung trực của DC