C3 : Ta có ; \(B=\sqrt{x-4}+\sqrt{y-3}\) . Nhận xét : \(B\ge0\)

\(\Rightarrow B^2\le16\Rightarrow B\le4\). Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}x\ge4,y\ge3\\\sqrt{x-4}=\sqrt{y-3}\\x+y=15\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=8\\y=7\end{cases}}\)

Vậy B đạt giá trị lớn nhất bằng 4 tại (x;y) = (8;7)

Tìm GTNN và mấy bài tới để từ từ mình làm cho nhé , tại mạng đang chậm...

C4 : Bạn cần thêm điều kiện x là số dương nhé : )

Ta có ; \(A=\frac{2x^2-6x+5}{2x}=x+\frac{5}{2x}-3\). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : 

\(x+\frac{5}{2x}\ge2\sqrt{x.\frac{5}{2x}}=\sqrt{10}\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=\frac{5}{2x}\Leftrightarrow\sqrt{\frac{5}{2}}\)

Vậy Min A = \(\sqrt{10}-3\Leftrightarrow x=\sqrt{\frac{5}{2}}\)

C5 : Bạn cần thêm điều kiện a,b là hằng số nhé :) 

\(P=\frac{\left(x+a\right)\left(x+b\right)}{x}=\frac{x^2+ax+bx+ab}{x}=x+\frac{ab}{x}+a+b\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : \(x+\frac{ab}{x}\ge2\sqrt{x.\frac{ab}{x}}=2\sqrt{ab}\Rightarrow P\ge a+2\sqrt{ab}+b=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x^2=ab\Leftrightarrow x=ab\) (vì a,b,x > 0)

Vậy .......

B tự c/m BĐT \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2\)nhé.

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)

Áp dụng :

\(x^4+y^4+z^4\ge\frac{1}{3}.\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge\frac{1}{3}.\left[\frac{1}{3}.\left(x+y+z\right)^2\right]^2=\frac{1}{27}.\left(x+y+z\right)^4=\frac{1}{27}.2^4=\frac{16}{27}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\)

KL:...

vận dụng bất đẳng thức x^2+y^2+z^2 \(\ge\) (x+y+z)^2/3

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(x^4+\frac{16}{81}+\frac{16}{81}+\frac{16}{81}\ge4.\sqrt[4]{x^4.\frac{16}{81}.\frac{16}{81}.\frac{16}{81}}=\frac{32}{27}x\)

Dấu " = " xảy  ra \(\Leftrightarrow x^4=\frac{16}{81}\Leftrightarrow x=\frac{2}{3}\)

Tương tự:

\(y^4+\frac{16}{81}+\frac{16}{81}+\frac{16}{81}\ge4.\sqrt[4]{y^4.\frac{16}{81}.\frac{16}{81}.\frac{16}{81}}=\frac{32}{27}y\)

\(z^4+\frac{16}{81}+\frac{16}{81}+\frac{16}{81}\ge4.\sqrt[4]{z^4.\frac{16}{81}.\frac{16}{81}.\frac{16}{81}}=\frac{32}{27}z\)

Dấu " = " xảy  ra \(\Leftrightarrow y^4=\frac{16}{81}\Leftrightarrow y=\frac{2}{3}\)

                              \(z^4=\frac{16}{81}\Leftrightarrow z=\frac{2}{3}\)

Cộng vế với vế của 3 BĐT trên ta có:

\(x^4+y^4+z^4+\frac{16}{81}.9\ge\frac{32}{27}\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow x^4+y^4+z^4\ge\frac{16}{27}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\)

Vậy Min \(x^4+y^4+z^4=\frac{16}{27}\)\(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\)

\(M=\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2+x+\dfrac{1}{4}\right)-\dfrac{1}{4}=\left(x-y\right)^2+\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}\ge-\dfrac{1}{4}\\ M_{min}=-\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow x=y=-\dfrac{1}{2}\)

giúp với mình sắp nạp rồi