c/m voi moi x,y>0 ta co
x5+y5>hoac= x4y+xy4
c/m voi moi so thuc x,y,z ta co
x2+y2+z2+3> hoac = 2(x+y+z)
x2+y2+z2+3> hoac = 2(x+y+z)
\(x^2+y^2+z^2+3-2\left(x+y+z\right)\ge0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+3-2x-2y-2z\ge0\)
\(\Rightarrow\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)+\left(z^2-2z+1\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2\ge0\)(Đpcm)
Dấu = khi (x-1)2=(y-1)2=(z-1)2=0 =>x=y=z=1
c/m
x+1/x> hoac=2 voi moi x>0
đề đúng, đặt A = x+1/x ta có
A= (x2 +1)/x
với mọi x>0 ta luôn có( x2+1)/x > 2
dấu = chỉ xảy ra khi x = 1
c/m voi moi a,b,c>0 ta co
1/a+1/b+1/c> hoac =9/a+b+c
ta có (a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=1+b/a+c/a+a/b+1+c/b+a/c+b/c+1=3+(a/b+b/a)+(a/c+c/a)+(b/c+c/b)
ta có (a-b)2>0suy ra a/b+b/a> hoặc =2
suy ra (a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>hoặc=9
suy ra 1/a+1/b+1/c>hoặc=9/a+b+c
chung minh P=x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1 lon hon hoac = 0 voi moi gia tri cua x
voi moi so a b c tuy y. CMR: a^2 + b^2 + c^2 > hoac = 2ab - 2ac + 2bc
Lời giải:
Xét hiệu:
$a^2+b^2+c^2-(2ab-2ac+2bc)=a^2+b^2+c^2-2ab+2ac-2bc$
$=(a^2+b^2-2ab)+c^2+2c(a-b)$
$=(a-b)^2+c^2+2c(a-b)=(a-b+c)^2\geq 0, \forall a,b,c\in\mathbb{R}$
$\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq 2ab-2ac+2bc$
Vậy ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a-b+c=0$
Bạn lưu ý lần sau gõ đề bằng công thức toán (biểu tượng $\sum$ góc trái khung soạn thảo) để đề được rõ ràng hơn nhé.
Chung Minh a^4+1-a(a^2+1)>hoac = 0 voi moi a
\(a^4+1-a\left(a^2+1\right)=a^4+1-a^3-a=\left(a^4-a\right)-\left(a^3-1\right)\)
\(=a\left(a^3-1\right)-\left(a^3-1\right)=\left(a-1\right)\left(a^3-1\right)\)
\(=\left(a-1\right)\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)=\left(a-1\right)^2\left[\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right]\ge0\forall a\)(đpcm)
cmr voi moi so n nguyen duong ta co 2mu n lon hon hoac bang n+2
đề không rõ ràng nếu n bằng 0 thì dpcm là sai nên ta khỏi cm
n bằng 1 cũng sai nữa chắc sai đề rồi
cho so co 2 chu so neu ta viet them vao ben phai hoac ben trai chinh so do thi ta duoc so moi va tong cua so moi voi so da cho bang 2754 tim so da cho
c/m \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}>=\frac{4}{x+y}\)
voi moi x,y>0
Ta có : \(\left(x-y\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\). Dấu "=" xảy ra khi x = y