ta có : \(\frac{x}{x+y}>\frac{x}{x+y+z}\left(1\right)\);  \(\frac{y}{y+z}>\frac{y}{y+z+z}\left(2\right)\); \(\frac{z}{z+x}>\frac{z}{z+x+y}\left(3\right).\)

cộng vế với vế các BĐT (1), (2), (3) ta được: 

          \(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}>\frac{x+y+z}{x+y+z}=1.\)(đpcm )

cái (2) gõ nhầm phím . nhé \(\frac{y}{y+z}>\frac{y}{y+z+x}\)

TA CÓ :\(\frac{X}{X+Y}\)>\(\frac{X}{X+Y+Z}\)(1)  ;  \(\frac{Y}{Y+Z}\)>\(\frac{Y}{X+Y+Z}\)(2)  ;  \(\frac{Z}{Z+X}\)>\(\frac{Z}{X+Y+Z}\)(3)

CỘNG (1) , (2) ,(3) vế theo vế ,ta có; \(\frac{X}{X+Y}\)+ \(\frac{Y}{Y+Z}\)+\(\frac{Z}{Z+X}\)>  \(\frac{X+Y+Z}{X+Y+Z}\)= 1 (đpcm)

Ta có: x,y,z \(\in\)Z ,nên

\(A=\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}>\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}=\frac{x+y+z}{x+y+z}=1\)

\(\Rightarrow A>1\)

\(B=\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}>\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}+\frac{x}{x+y+z}=1\)

\(\Rightarrow B>1\)

Ta có: \(A+B=\left(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{x+y}\right)+\left(\frac{y}{y+z}+\frac{z}{y+z}\right)+\left(\frac{z}{z+x}+\frac{x}{z+x}\right)=3\) và B > 1

Do đó A < 2.Vậy 1 < A < 2

=> A có giá trị là 1 số không thuộc tập hợp số nguyên

Vì x,y,z là các số dương nên : \(\frac{x}{x+y}< \frac{x+z}{x+y+z}\) ; \(\frac{y}{y+z}< \frac{y+x}{x+y+z}\) ; \(\frac{z}{z+x}< \frac{z+y}{x+y+z}\)

\(\Rightarrow A< \frac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}=2\) (1)

Mặt khác ta lại có : \(x+y< x+y+z\Rightarrow\)\(\frac{x}{x+y}>\frac{x}{x+y+z}\)

Tương tự : \(\frac{y}{y+z}>\frac{y}{x+y+z};\frac{z}{z+x}>\frac{z}{x+y+z}\)

\(\Rightarrow A>\frac{x+y+z}{x+y+z}=1\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra : \(1< A< 2\) => A không có giá trị nguyên

\(A=\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}>\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}\)

\(A>\frac{x+y+z}{x+y+z}\)

\(A>1\left(1\right)\)

Áp dụng \(\frac{a}{b}< 1\Leftrightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+m}{b+m}\) (a,b,m \(\in\) N*) ta có:

\(A=\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}< \frac{x+z}{x+y+z}+\frac{x+y}{x+y+z}+\frac{z+y}{x+y+z}\)

\(A< \frac{2.\left(x+y+z\right)}{x+y+z}\)

\(A< 2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => 1 < A < 2

=> A không là số nguyên (đpcm)

Ta có :

\(A=\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}\)

\(\Rightarrow A=\frac{x+y-y}{x+y}+\frac{y+z-z}{y+z}+\frac{z+x-x}{z+x}\)

\(\Rightarrow A=1-\frac{y}{x+y}+1-\frac{z}{y+z}+1-\frac{x}{z+x}\)

\(\Rightarrow A=3-\left(\frac{y}{x+y}+\frac{z}{y+z}+\frac{x}{z+x}\right)\)

Mặt khác vì A nguyên dương

\(\Rightarrow\begin{cases}\frac{x}{x+z}>\frac{x}{x+y+z}\\\frac{y}{y+x}>\frac{y}{x+y+z}\\\frac{z}{z+y}>\frac{z}{x+y+z}\end{cases}\)\(\Rightarrow\frac{y}{x+y}+\frac{z}{y+z}+\frac{x}{z+x}>\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}\)

\(\Rightarrow\frac{y}{x+y}+\frac{z}{y+z}+\frac{x}{z+x}>1\) 

\(\Rightarrow-\left(\frac{y}{x+y}+\frac{z}{y+z}+\frac{x}{z+x}\right)< -1\)

\(\Rightarrow3-\left(\frac{y}{x+y}+\frac{z}{y+z}+\frac{x}{z+x}\right)< 2\left(1\right)\) 

Mà \(\begin{cases}\frac{x}{x+y}>\frac{x}{x+y+z}\\\frac{y}{y+z}>\frac{y}{x+y+z}\\\frac{z}{x+z}>\frac{z}{x+y+z}\end{cases}\)\(\Rightarrow\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}>\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}=1\left(2\right)\)

Từ (1) và (2)

\(\Rightarrow1< A< 2\)

=> A không phải là số nguyên

vì x+y+z=1nên

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\)\(\frac{x+y+z}{x}+\frac{x+y+z}{y}+\frac{x+y+z}{z}\)\(=3+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)\)=\(3+\frac{x^2+y^2}{xy}+\frac{y^2+z^2}{yz}+\frac{x^2+z^2}{xz}\)

nen \(\frac{xy}{x^2+y^2}+\frac{yz}{y^2+z^2}+\frac{xz}{x^2+z^2}+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\) =\(\left(\frac{xy}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2}{4xy}\right)+\left(\frac{yz}{y^2+z^2}+\frac{y^2+z^2}{4yz}\right)+\left(\frac{xz}{x^2+z^2}+\frac{x^2+z^2}{xz}\right)+\frac{3}{4}\)

\(\ge2.\frac{1}{2}+\frac{2.1}{2}+\frac{2.1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{15}{4}\)(dpcm)

dau = xay ra khi x=y=z=1/3

A= x+y-y/x+y + y+z-z/y+z + z+x-x/x+z

A=3 - ( x/x+z + y/x+y + z/y+z)

Mà:x/x+z>x/x+y+z,x/y+z>y/x+y+z;z/x+z>z/x+y+z

suy ra :A<2     (1)

Mặt khác A=x/x+y + y/y+z + z/x+z

Mà x/x+y>x/x+y+z;y/y+z>y/x+y+z;z/x+z>z/x+y+z

suy ra A=1        (2)

Từ (1) và (2) suy ra 1<A<2 suy ra A ko phải là số nguyên