t​ừ 0<1<2<3<...<100 suy ra 0 < căn 1<căn 2<...< căn 100 = 10. suy ra 1/căn 1>1/căn 2>...>1/căn 100( sử dụng quy tắc so ánh 2 phân số cùng tử va mẫu đều dương) . suy ra a> 100 nhân 1/10=10 suy ra 1/căn 1+1/căn 2+...+1/căn 100>10 ( dpcm)

​

Đặt \(\sqrt{1+x}=a;\sqrt{1-x}=b\), \(a,b>0\)

Áp dụng BĐT AG-GM:

\(\Rightarrow A=\dfrac{a^2+4b^2}{ab}\ge\dfrac{2\sqrt{a^2\cdot4b^2}}{ab}=4\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow1+x=4\left(1-x\right)\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{5}\left(N\right)\)

Tick hộ nha

\(\frac{1}{n\sqrt{n-1}+\left(n-1\right)\sqrt{n}}\)

\(=\frac{1}{\sqrt{n-1}\sqrt{n}\left(\sqrt{n-1}+\sqrt{n}\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{n-1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n-1}\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n-1}}\)

Sau đó bạn tự áp dụng vào nhé!

a) \(\sqrt[]{1-4a+4a^2}\)

\(=\sqrt[]{\left(1-2a\right)^2}\)

\(=\left|1-2a\right|\)

\(=\left[{}\begin{matrix}1-2a\left(a\le\dfrac{1}{2}\right)\\2a-1\left(a>\dfrac{1}{2}\right)\end{matrix}\right.\)

b) \(x-2y-\sqrt[]{x^2-4xy+4y^2}\)

\(=x-2y-\sqrt[]{\left(x-2y\right)^2}\)

\(=x-2y-\left|x-2y\right|\)

\(=\left[{}\begin{matrix}x-2y-x+2y\left(x\ge2y\right)\\x-2y+x-2y\left(x< 2y\right)\end{matrix}\right.\)

\(=\left[{}\begin{matrix}0\left(x\ge2y\right)\\2x-4y\left(x< 2y\right)\end{matrix}\right.\)

\(=\left[{}\begin{matrix}0\left(x\ge2y\right)\\2\left(x-2y\right)\left(x< 2y\right)\end{matrix}\right.\)

a: ĐKXĐ: 2x+5>=0 và 1-x>=0

=>-5/2<=x<=1

PT =>2x+5=1-x

=>3x=-4

=>x=-4/3(nhận)

b: ĐKXĐ: x^2-x>=0 và 3-x>=0

=>x<=3 và (x>=1 hoặc x<=0)

=>x<=0 hoặc (1<=x<=3)

PT =>x^2-x=3-x

=>x^2=3

=>x=căn 3(nhận) hoặc x=-căn 3(nhận)

c: ĐKXĐ: 2x^2-3>=0 và 4x-3>=0

=>x>=3/4 và x^2>=3/2

=>x>=3/4 và \(\left[{}\begin{matrix}x>=\dfrac{\sqrt{6}}{4}\\x< =\dfrac{-\sqrt{6}}{4}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x>=\dfrac{3}{4}\\x< =-\dfrac{\sqrt{6}}{4}\end{matrix}\right.\)

PT =>2x^2-3=4x-3

=>2x^2-4x=0

=>2x(x-2)=0

=>x=0(loại) hoặc x=2(nhận)

\(\sqrt{2x+5}=\sqrt{1-x}\) (ĐK: \(-\dfrac{5}{2}\le x\le1\)) 

\(\Leftrightarrow2x+5=1-x\)

\(\Leftrightarrow2x+x=1-5\)

\(\Leftrightarrow3x=-4\)

\(\Leftrightarrow x=-\dfrac{4}{3}\left(tm\right)\)

b) \(\sqrt{x^2-x}=\sqrt{3-x}\) (ĐK: \(\left[{}\begin{matrix}1\le x\le3\\x\le0\end{matrix}\right.\))

\(\Leftrightarrow x^2-x=3-x\)

\(\Leftrightarrow x^2=3\)  

\(\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{3}\left(tm\right)\)  

c) \(\sqrt{2x^2-3}=\sqrt{4x-3}\) (ĐK: \(x\ge\dfrac{\sqrt{6}}{2}\)) 

\(\Leftrightarrow2x^2-3=4x-3\)

\(\Leftrightarrow2x^2=4x\)

\(\Leftrightarrow x^2=2x\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\left(ktm\right)\\x=2\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)