Xét mặt phẳng đáy (ABCD) là hình thang cân. Kéo dài AC cắt BD tại I ta thu được tam giác đều ICD. 

Do đó AD và BC đồng thời là đường cao và là đường trung tuyến của tam giác ICD. Suy ra O là trọng tâm của tam giác ICD (Với O là giao của AD và BC)

Ta có: \(AD=\sqrt{CD^2-AC^2}=a\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow OA=\dfrac{1}{3}a\sqrt{3}\)

Vì hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và có giao tuyến là SO. Do đó SO vuông góc với (ABCD)

Xét tam giác SOB vuông tại O ta có: 

\(SO=\sqrt{SA^2-OA^2}=\dfrac{\sqrt{15}}{3}a\)

Vậy khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) là \(\dfrac{\sqrt{15}}{3}a\)

Ta có: \(S_{ABCD}=\dfrac{3}{4}.S_{ICD}=\dfrac{3}{4}.\dfrac{AD.CI}{2}=\dfrac{3}{8}.a\sqrt{3}.2a=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}a^2\)

\(\Rightarrow V_{S.ABCD}=\dfrac{1}{3}.SO.S_{ABCD}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{\sqrt{15}}{3}a.\dfrac{3\sqrt{3}}{4}a^2=\dfrac{\sqrt{5}}{4}a^3\)

Xét mặt phẳng đáy (ABCD) là hình thang cân. Kéo dài AC cắt BD tại I ta thu được tam giác đều ICD. 

Do đó AD và BC đồng thời là đường cao và là đường trung tuyến của tam giác ICD. Suy ra O là trọng tâm của tam giác ICD (Với O là giao của AD và BC)

Ta có: \(AD=\sqrt{CD^2-AC^2}=a\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow OA=\dfrac{1}{3}a\sqrt{3}\)

Vì hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và có giao tuyến là SO. Do đó SO vuông góc với (ABCD)

Xét tam giác SOB vuông tại O ta có: 

\(SO=\sqrt{SA^2-OA^2}=\dfrac{\sqrt{15}}{3}a\)

Vậy khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) là \(\dfrac{\sqrt{15}}{3}a\)

Ta có: \(S_{ABCD}=\dfrac{3}{4}.S_{ICD}=\dfrac{3}{4}.\dfrac{AD.CI}{2}=\dfrac{3}{8}.a\sqrt{3}.2a=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}a^2\)

\(\Rightarrow V_{S.ABCD}=\dfrac{1}{3}.SO.S_{ABCD}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{\sqrt{15}}{3}a.\dfrac{3\sqrt{3}}{4}a^2=\dfrac{\sqrt{5}}{4}a^3\)

Chọn A

Chọn B

Chứng minh được ∆ S A D  vuông cân tại A và ∆ A B D  vuông tại D.

Khi đó d G , S B D = 1 3 d A , S B D = a 2 6 .

Chọn C

Phương pháp:

- Xác định góc giữa mặt phẳng (SBD) với (ABD) (góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến)

- Tính khoảng cách dựa vào công thức tỉ số khoảng cách:

Cách giải

\(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow\widehat{SBA}\) là góc giữa SB và (ABCD)

\(\Rightarrow\widehat{SBA}=45^0\Rightarrow SA=AB.tan45^0=a\)

Gọi O là tâm đáy \(\Rightarrow AO=CO\Rightarrow d\left(C;\left(SBD\right)\right)=d\left(A;\left(SBD\right)\right)\)

Kẻ AH vuông góc BD, kẻ AK vuông góc SH

\(\Rightarrow AK\perp\left(SBD\right)\Rightarrow AK=d\left(A;\left(SBD\right)\right)\)

\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AD^2}+\dfrac{1}{AB^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{4a^2}=\dfrac{5}{4a^2}\)

\(\dfrac{1}{AK^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AK^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{5}{4a^2}=\dfrac{9}{4a^2}\)

\(\Rightarrow AK=\dfrac{2a}{3}\Rightarrow d\left(C;\left(SBD\right)\right)=\dfrac{2a}{3}\)