Giả sử số các số nguyên tố dạng 4k + 3 là hữu hạn.

Gọi đó là p1, p2, ..., pk.

Xét A = 4*p1*p2*...*pk - 1  

A có dạng 4k + 3, vậy theo bổ đề A có ít nhất 1 ước nguyên tố dạng 4k + 3.

Dễ thấy là A không chia hết cho p1, p2, ..., pk, tức không chia hết cho bất cứ số nguyên tố nào có dạng 4k + 3, mâu thuẫn.

Vậy có vô hạn số nguyên tố dạng 4k + 3

**** nhe

\(n=1\Rightarrow1^1\ge1!\) đúng

Giả sử đúng với \(n=k\) hay \(k^k\ge k!\) 

Cần chứng minh đúng với \(n=k+1\) hay \(\left(k+1\right)^{k+1}\ge\left(k+1\right)!\)

Ta có:

\(\left(k+1\right)^{k+1}=\left(k+1\right).\left(k+1\right)^k>\left(k+1\right).k^k\ge\left(k+1\right).k!=\left(k+1\right)!\) (đpcm)

Giả sử \(\sqrt{2}\)là số hữu tỉ thì \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\left[\left(a,b\right)=1\right]\)

\(\Rightarrow a^2=2b^2\)(1)\(\Rightarrow a^2⋮2\)

Mà 2 là số nguyên tố nên \(a⋮2\)

Đặt a = 2k.Thay vào (1), ta được: \(4k^2=2b^2\Rightarrow2k^2=b^2\)

\(\Rightarrow b^22⋮\).Mà 2 là số nguyên tố nên \(b⋮2\)

Vậy a và b cùng chia hết cho 2, trái với (a,b) =1

Vậy \(\sqrt{2}\)là số vô tỉ hay \(\sqrt{2}+3\)là số vô tỉ (đpcm)

Vì 3 là số hữu tỉ rồi nên phải cần c/m √2 là số vô tỉ là đc!

Giả sử √2 là số hữu tỉ 
=> √2 = a/b với a, b nguyên và a/b tối giản hay (a ; b) = 1 (1) 
√2 = a/b 
<=> 2 = a²/b² 
<=> b² = a²/2 
=> a² chia hết cho 2 
=> a chia hết cho 2 (vì 2 là số nguyên tố) (2) 
=> a = 2k. Thay vào : 
2 = a²/b² 
<=> 2 = (2k)²/b² 
<=> b² = 2k² 
=> b² chia hết cho 2 
=> b chia hết cho 2 (3) 
Từ (2) và (3) => ƯC (a ; b) = 2 
=> Mâu thuẫn (1) 
=> Điều giả sử là sai 
=> √2 là số vô tỉ (đpcm)

cảm ơn các bạn nhìu nha

Ta chọn abc sao cho

a^2 b^2 +b^2 c^2=(c^2-ab)tất cả mũ 2

 => c = a + b

ta chọn c = a + b thì :

 a^2 b^2+b^2 c^2+c^2 a^2=(b^2+a^2+ab)^2

Chứng minh bằng phản chứng : Giả sử có hữu hạn số nguyên tố, do đó ta có thể sắp xết các số này thành dãy : \(p_1< p_2< p_3< ...< p_n\)

Xét số \(p=p_1.p_2.p_3...p_n+1\) . Vì \(p>p_n\) nên p không thể là số nguyên tố. Vậy p là bội số của một số nguyên tố \(p_k\) nào đó, suy ra : \(1=p-p_1.p_2...p_k\Rightarrow1⋮p_k\Rightarrow p_k\le1\) (vô lý)

Vậy có vô hạn số nguyên tố.