10³⁰=(10³)¹⁰=1000¹⁰

2¹⁰⁰=(2¹⁰)¹⁰=1024¹⁰

Vì:1000¹⁰<1024¹⁰ suy ra 10³⁰<2¹⁰⁰

Mà 10³⁰<10³¹(nhiều hơn 1 số 0)

Mà 10³⁰<2¹⁰⁰ 24 đơn vị

suy ra:10³⁰<2¹⁰⁰<10³¹

10³⁰=(10³)¹⁰=1000¹⁰
2¹⁰⁰=(2¹⁰)¹⁰=1024¹⁰
Vì 1000<1024⇒1000¹⁰<1024¹⁰
nên 10³⁰<2¹⁰⁰
mà 10³⁰<10³¹(30<31)
⇒10³⁰<2¹⁰⁰<10³¹

\(a)\)Ta có : 

\(10^{30}=\left(10^3\right)^{10}=1000^{10}< 1024^{10}=\left(2^{10}\right)^{10}=2^{100}\) \(\left(1\right)\)

\(2^{100}=2^{31}.2^6.2^{63}=2^{31}.64.\left(2^9\right)^7=2^{31}.64.512^7\) \(\left(2\right)\)

\(10^{31}=2^{31}.5^3.5^{28}=2^{31}.125.\left(5^4\right)^7=2^{31}.125.625^7\) \(\left(3\right)\)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(10^{30}< 2^{100}< 10^{31}\) ( đocm ) 

\(b)\) Ta có : 

\(10^{30}\) là số nhỏ nhất có 31 chữ số 

\(10^{31}\) là số nhỏ nhất có 32 chữ số 

Mà \(10^{30}< 2^{100}< 10^{31}\) 

\(\Rightarrow\)\(2^{100}\) có 31 chữ số 

Vậy \(2^{100}\) có 31 chữ số 

Chúc bạn học tốt ~ 

a) Đặt \(A=1+2+2^2+2^3+...+2^{100}\)

\(2A=2+2^2+2^3+...+2^{101}\)

\(2A-A=\left(2+2^2+2^3+...+2^{101}\right)-\left(1+2+2^2+...+2^{100}\right)\)

\(A=2^{101}-1< 2^{101}\)

So sánh à bạn ?

`B = 2 + 2^3 +  2^5 + 2^7 + ... + 2^31`.

`<=> (2 + 8) + 2^4(2 + 8) + 2^8(2 + 8) + ... + 2^28(2 + 8)`.

`<=> (1 + 2^4 + 2^8 + ... + 2^28)(2+8)`

`<=> 10 . (1 + 2^4 + 2^8 + ... + 2^28)`.

Vì `(1 + 2^4 + ... + 2^28) in ZZ`.

`=> 10 . (1+2^4 + ... + 2^28) vdots 10`.

B=2(1+2^2)+2^5(1+2^2)+...+2^29(1+2^2)

=5(2+2^5+...+2^29)

=10(1+2^4+...+2^28) chia hết cho 10

Mình nghĩ :

10³⁰<2¹⁰⁰<10³¹

ko bt