CHo x,y là các số dương thỏa mãn (11x + 6y +2015)(x-y+3) = 0 . tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=xy-5x+2015
Cho x , y là các số dương thỏa mãn (11x + 6y + 2015) (x - y + 3) = 0 .
tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = xy - 5x + 2016
(11x + 6y + 2015) (x - y + 3) = 0 => x - y + 3 = 0 do x ; y > 0 nên 11x + 6y + 2015 > 0
=> y = x + 3.
=> P = x(x+3) - 5x + 2016 = x2 - 2x + 2016 = (x - 1)2 + 2015 \(\ge\) 2015 với mọi x
Vậy Min P = 2015 khi x - 1 = 0 <=> x = 1 => y = 4
Cho x,y là các số dương thỏa mãn (11x+6y+2015)(x-y+3)=0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=xy-5x+2016
Ta có : \(\left(11x+6y+2015\right)\left(x-y+3\right)=0\)
Mà \(x,y>0\)
=> \(11x+6y+2015>0\)
=> \(x-y+3=0\)
=> \(y=x+3\)
Ta có : \(P=x\left(x+3\right)-5x+2016\)
=> \(P=x^2+3x-5x+2016\)
=> \(P=x^2-2x+2015=\left(x-1\right)^2+2015\)
Ta thấy : \(\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\)
=> \(\left(x-1\right)^2+2015=P\ge2015\forall x\)
Vậy MinP = 2015 <=> x = 1 ( y = 4 )
cho x, y là các số thực dương thỏa mãn xy=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=x^3/(1+y)+y^3/(1+x)
\(B=\frac{x^3}{y+1}+\frac{y^3}{1+x}=\frac{\left(x^4+y^4\right)+\left(x^3+y^3\right)}{xy+x+y+1}\)
\(=\frac{\left(x^4+y^4\right)+\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)}{x+y+2}=\frac{\left(x^4+y^4\right)+\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-1\right)}{x+y+2}\)
Áp dụng BĐT cô si với các số dương x2 ; y2 ; x4 ; y4 ta được :
\(B\ge\frac{2x^2y^2+\left(x+y\right)\left(2xy-1\right)}{x+y+2}=\frac{2+\left(x+y\right)}{x+y+2}=1\)
Dấu ''='' xảy ra khi \(\Leftrightarrow x=y=1\)
cho x và y là các số nguyên dương thỏa mãn 2x+y/x+y=2016/2015 tìm giá trị nhỏ nhất của y
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 4x + y + 3; với x,y là các số thực dương thỏa mãn x + y + xy ≥ 8
\(y\ge\dfrac{8-x}{x+1}\Rightarrow P\ge4x+\dfrac{8-x}{x+1}+3=\dfrac{4x^2+6x+11}{x+1}=\dfrac{4x^2-4x+1+10\left(x+1\right)}{x+1}=\dfrac{\left(2x-1\right)^2}{x+1}+10\ge10\)
\(P_{min}=10\) khi \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1}{2};5\right)\)
Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện: \(x^{2015}+y^{2015}+z^{2015}=3\)
Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: \(x^2+y^2+z^2\)
áp dụng bất đẳng thức cauchy cho 2015 số , ta có
\(2x^{2015}+2013=x^{2015}+x^{2015}+1+1+..+1\ge2015\sqrt[2015]{x^{2015}.x^{2015}}=2015x^2\)
tương tự ta có
\(\hept{\begin{cases}2.y^{2015}+2013\ge2015y^2\\2.z^{2015}+2013\ge2015z^2\end{cases}}\)
cộng ba bất đẳng thức lại ta có \(2\left(x^{2015}+y^{2015}+z^{2015}\right)+2013.3\ge2015\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
hay \(2015\left(x^2+y^2+z^2\right)\le2.3+2013.3=2015.3\Rightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)\le3\)
dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2015\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P = \(\frac{xy}{x^3+y^3}+\frac{yz}{y^3+z^3}+\frac{zx}{z^3+x^3}\)
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn 5 x + 2 y + 3 3 x y + x + 1 = 5 x y 5 + 3 − x − 2 y + x − 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = x + y .
A. T min = 2 + 3 2 .
B. T min = 1 + 5 .
C. T min = 3 + 2 3 .
D. T min = 5 + 3 2 .
Đáp án C.
Ta có:
G T ⇔ 5 x + 2 y + x + 2 y − 3 − x − 2 y = 5 x y − 1 − 3 1 − x y + x y − 1.
Xét hàm số
f t = 5 t + t − 3 − t ⇒ f t = 5 t ln 5 + 1 + 3 − t ln 3 > 0 ∀ t ∈ ℝ
Do đó hàm số đồng biến trên ℝ suy ra f x + 2 y = f x y − 1 ⇔ x + 2 y = x y − 1
⇔ x = 2 y + 1 y − 1 ⇒ T = 2 y + 1 y − 1 + y . Do x > 0 ⇒ y > 1
Ta có: T = 2 + y + 3 y − 1 = 3 + y − 1 + 3 y − 1 ≥ 3 + 2 3 .
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn 5 x + 2 y + 3 3 x y + x + 1 = 5 x y 5 + 3 - x - 2 y + x - 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = x + y.
Đáp án C.
Ta có: GT
<=> 5x+2y + x + 2y – 3–x–2y = 5xy–1 – 31–xy + xy – 1.
X é t h à m s ố f t = 5 t + t - 3 - t
⇒ f t = 5 t ln 5 + 1 + 3 - t ln 3 > 0 ∀ t ∈ ℝ
Do đó hàm số đồng biến trên ℝ suy ra
f(x+2y) = f(xy – 1) <=> x+ 2y = xy – 1
⇔ x = 2 y + 1 y - 1 ⇒ T = 2 y + 1 y - 1 + y .
Do x > 0 => y > 1.
Ta có:
T = 2 + y + 3 y - 1 = 3 + y - 1 + 3 y - 1 ≥ 3 + 2 3 .