a) Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}BH\perp AC\\KC\perp AC\end{matrix}\right.\)       ⇒ \(BH\text{//}KC\) 

\(\left\{{}\begin{matrix}CH\perp AB\\BK\perp AB\end{matrix}\right.\)       ⇒ \(CH\text{//}BK\)

\(Xét\) \(tứ\) \(giác\) \(BKCH\) \(có:\) \(\left\{{}\begin{matrix}BH\text{//}KC\\CH\text{//}BK\end{matrix}\right.\)

⇒ Tứ giác \(BKCH\) là hình hình hành. Mà M là trung điểm của đường chéo BC

⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}H,M,K_{ }thẳng_{ }hàng\\HM=MK\end{matrix}\right.\)

Xét \(\Delta AHK\) có: \(\left\{{}\begin{matrix}AI=IK\left(gt\right)\\HM=MK\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)

⇒ \(IM\) là đường trung bình của \(\Delta AHK\)

⇒ \(IM=\dfrac{1}{2}AH\)              \(\left(ĐPCM\right)\)

c)

Ta có:

\(\dfrac{S_{\Delta HBC}}{S_{\Delta ABC}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}.HD.BC}{\dfrac{1}{2}.AD.BC}=\dfrac{HD}{AD}\)  

\(\dfrac{S_{\Delta HAC}}{S_{\Delta ABC}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}.HE.AC}{\dfrac{1}{2}.BE.AC}=\dfrac{HE}{BE}\)

\(\dfrac{S_{\Delta HBA}}{S_{\Delta ABC}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}.HF.AB}{\dfrac{1}{2}.CF.AB}=\dfrac{HF}{CF}\)

⇒ \(\dfrac{HD}{AD}+\dfrac{HE}{BE}+\dfrac{HF}{CF}=\dfrac{S_{\Delta HBC}+S_{\Delta HAC}+S_{\Delta HAB}}{S_{\Delta ABC}}=\dfrac{S_{\Delta ABC}}{S_{\Delta ABC}}\)

⇔ \(\dfrac{HD}{AD}+\dfrac{HE}{BE}+\dfrac{HF}{CF}=1\)          \(\left(ĐPCM\right)\)

D ở đây ra vậy em?

Sửa đề: Từ C,B kẻ các đường thẳng vuông góc với AC,AB cắt nhau tại K

a: CK vuông góc AC

BH vuông góc AC

Do đó: CK//BH

BK vuông góc AB

CH vuông góc AB

Do đó: BK//CH

Xét tứ giác BHCK có

BH//CK

BK//CH

Do đó: BHCK là hình bình hành

b: BHCK là hình bình hành

=>BC cắt HK tại trung điểm của mỗi đường

mà M là trung điểm của BC

nên M là trung điểm của HK

=>H,M,K thẳng hàng

Kẻ CG//MN(G thuộc AB), CG cắt AD tại K

=>HI vuông góc CK

=>I là trựctâm của ΔHCK

=>KI vuông góc CH

=>KI//AB

=>KI//BG

=>K là trung điểm của CG

MN//GC

=>MH/GK=HN/KC

mà GK=KC

nên MH=HN