AB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AEK tại D

Vì AB là đường kính \(\Rightarrow\angle AMB=90\Rightarrow\angle EMB+\angle EHB=90+90=180\)

\(\Rightarrow EMBH\) nội tiếp \(\Rightarrow\angle KBD=\angle MBH=\angle AEH\)

Vì KEAD nội tiếp \(\Rightarrow\angle AEH=\angle KDB\Rightarrow\angle KBD=\angle KDB\)

\(\Rightarrow\Delta KDB\) cân tại K có KH là đường cao 

\(\Rightarrow H\) là trung điểm BD mà B,H cố định \(\Rightarrow D\) cố định

Vì KEAD nội tiếp \(\Rightarrow I\in\) trung trực AD mà A,D cố định

\(\Rightarrow\) đpcm

a, HS tự chứng minh

b, Chứng minh ∆NMC:∆NDA và ∆NME:∆NHA

c, Chứng minh ∆ANB có E là trực tâm => AE ⊥ BN mà có AK ⊥ BN nên có ĐPCM

Chứng minh tứ giác EKBH nội tiếp, từ đó có  A K F ^ = A B M ^

d, Lấy P và G lần lượt là trung điểm của AC và OP

Chứng minh I thuộc đường tròn (G, GA)

1) Dễ thấy \(\widehat{HCB}=\widehat{ACB}=90^o\)

tứ giác CBKH có \(\widehat{HKB}=\widehat{HCB}=90^o\)nên là tứ giác nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{HCK}=\widehat{HBK}\)( 1 )

Mà \(\widehat{ACM}=\widehat{ABM}=\frac{1}{2}sđ\widebat{AM}\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra \(\widehat{ACM}=\widehat{ACK}\)

2) Xét \(\Delta AMC\)và \(\Delta BEC\)có :

AM = BE ; AC = BC ; \(\widehat{MAC}=\widehat{CBE}=\frac{1}{2}sđ\widebat{MC}\)

\(\Rightarrow\Delta AMC=\Delta BEC\)( c.g.c )

\(\Rightarrow MC=EC\)

Ta có : \(\widehat{CMB}=\frac{1}{2}sđ\widebat{BC}=45^o\)

Suy ra \(\Delta ECM\)vuông cân tại C

3) Ta có : \(\frac{AP.MB}{AM}=R=OB\Rightarrow\frac{AP}{MA}=\frac{OB}{MB}\)

Xét \(\Delta APM\)và \(\Delta OBM\), ta có :

\(\frac{AP}{MA}=\frac{OB}{MB}\); \(\widehat{PAM}=\widehat{MBO}=\frac{1}{2}sđ\widebat{AM}\)

\(\Rightarrow\Delta APM\approx\Delta BOM\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\Delta APM\)cân tại P ( vì \(\Delta BOM\)cân tại O )

\(\Rightarrow PA=PM\)

Gọi giao điểm của BM và ( d ) là F ; giao điểm của BP với HK là I

Xét tam giác vuông AMF có PA = PM nên PA = PM = PF

Theo định lí Ta-let, ta có :

\(\frac{HI}{FP}=\frac{BI}{BP}=\frac{KI}{AP}\Rightarrow HI=KI\)

vì vậy PB đi qua trung điểm của HK

a: Xét (O) có 

ΔAMB nội tiếp đường tròn

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

a: Xét (O) có 

ΔAMB nội tiếp đường tròn

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

1: góc ACB=1/2*180=90 độ

góc HKB+góc HCB=180 độ

=>CBKH nội tiếp

2: góc MCA=1/2*sđ cung MA

góc ACK=góc MBA=1/2*sđ cung MA

=>góc MCA=góc KCA

=>CA là phân giác của góc MCK

a, Chứng minh được  H C B ^ = H K B ^ = 90 0

b,  A C K ^ = H B K ^  (CBKH nội tiếp)

Lại có:  A C M ^ = H B K ^ = 1 2 s đ A M ⏜

=>  A C M ^ = A C K ^

c, Chứng minh được:

DMCA = DECB (c.g.c) => MC = CE

Ta có:  C M B ^ = C A B ^ = 1 2 s đ C B ⏜ = 45 0

=> DMCE vuông cân tại C

d, Gọi  P B ∩ H K = I

Chứng minh được DHKB đồng dạng với DAMB (g.g)

=>  H K K B = M A M B = A P R => H K = A P . B K R

Mặt khác: ∆BIK:∆BPA(g.g) => (ĐPCM)