\(\Leftrightarrow a^4-a^3b+b^4-ab^3>=0\)

\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)>=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\cdot\left(a^2+ab+b^2\right)>=0\)(luôn đúng)

B trước nhé:

Áp dụng bất đẳng thức cosi cho 2 số thực dương a^2 và b^2; b^2 và c^2 ; c^2 và a^2 ta được:

a^2 + b^2\(\ge\)2ab

Tương tự b^2 + c^2\(\ge\)2bc

Cx có c^2+a^2\(\ge\)2ac

=> 2(a^2+b^2+c^2)\(\ge\)2(ab + bc +ca)

=>a^2 + b^2 +c^2\(\ge\)ab+bc+ca

Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz và BĐT \(a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\), ta có:

\(\left(2^2+2^2\right)\left[\left(a^2\right)^2+\left(b^2\right)^2\right]\ge\left(2a^2+2b^2\right)^2\)\(\ge\left[2\times\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\right]^2=\left(a+b\right)^4\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4\ge\dfrac{\left(a+b\right)^4}{8}\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki,ta có:

\(a^4+b^4\) \(\geq\) \(\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\) \(\geq\) \(\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\right)^2}{2}\) = \(\dfrac{\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^4}{2}\) = \(\dfrac{\left(a+b\right)^4}{8}\)

Dấu = xảy ra khi a=b

\(\frac{a^4+b^4}{2}\ge ab^3+a^3b-a^2b^2\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+2a^2b^2-2ab^3-2a^3b\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)^2-2ab\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a^2+b^2\right).2\sqrt{a^2.b^2}-2ab\left(a^2+b^2\right)=0\)( luôn đúng )

vì BĐT cuối luôn đúng nên BĐT đã cho đúng \(\Leftrightarrow a=b\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

\(\left(1+1+1\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=1

Có: \(ab+bc+ca\le\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\Leftrightarrow a+b+c\ge3\)( bạn tự c/m nhé )

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c

Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz ta có:

\(\frac{a^4}{b+3c}+\frac{b^4}{c+3a}+\frac{c^4}{a+3b}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{4\left(a+b+c\right)}\ge\frac{\left[\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\right]^2}{4\left(a+b+c\right)}=\frac{\left(a+b+c\right)^3}{36}\ge\frac{27}{36}=\frac{3}{4}\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=1 ( bạn tự giải rõ ra nhé )

A) \(A^2+B^2\ge2AB\Leftrightarrow\left(A-B\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

B)\(A^2B=A\cdot A\cdot B;AB^2=A\cdot B\cdot B\)

áp dụng BĐT AM-GM

\(A\cdot A\cdot B\le\dfrac{A^3+A^3+B^3}{3};A\cdot B\cdot B\le\dfrac{A^3+B^3+B^3}{3}\)

cộng 2 vế của BĐT cho nhau

\(\Rightarrow A^2B+AB^2\le A^3+B^3\left(đpcm\right)\)

C)tương tự câu B) ta có

\(A^3B\le\dfrac{A^4+A^4+A^4+B}{4};AB^3\le\dfrac{A^4+B^4+B^4+B^{\text{4}}}{4}\)

cộng từng vế của BĐT ta có đpcm

3.1 

Xét hiệu :

\(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2-ab=\dfrac{a^2+2ab+b^2}{4}-\dfrac{4ab}{4}\)

\(=\dfrac{a^2-2ab+b^2}{4}=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge0\forall a,b\in R\)

Vậy \(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\ge ab,\forall a,b\in R\)

Dấu bằng xảy ra : \(\Leftrightarrow a=b\)

3.2

Áp dụng kết quả của câu 3.1 vào câu 3.2 ta được:

\(\left(a+b+c\right)^2=[a+\left(b+c\right)]^2\ge4a\left(b+c\right)\)

Mà : \(a+b+c=1\left(gt\right)\)

nên : \(1\ge4a\left(b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow b+c\ge4a\left(b+c\right)^2\) ( vì a,b,c không âm nên b+c không âm )

Mà : \(\left(b+c\right)^2\ge4bc\Leftrightarrow\left(b-c\right)^2\ge0,\forall b,c\in N\)

\(\Rightarrow b+c\ge16abc\)

Dấu bằng xảy ra : \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b+c\\b=c\end{matrix}\right.\Leftrightarrow b=c=\dfrac{1}{4};a=\dfrac{1}{2}\)