\(\overline{xy}=\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x+1+y^2-2y+1=10x+y\)

\(\Leftrightarrow x^2-12x+y^2-3y+2=0\)

\(\Leftrightarrow4x^2-48x+4y^2-12y+8=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x\right)^2-2.2x.12+144+\left(2y\right)^2-2.2y.3+9-145=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-12\right)^2+\left(2y-3\right)^2=145\)

mà \(145=12^2+1^2=9^2+8^2\)

và \(\left\{{}\begin{matrix}2x-12>-12\\2y-3>-3\end{matrix}\right.\) (x, y nguyên dương)

và \(2y-3\) là số lẻ

=> Có 2 trường hợp có thể xảy ra:

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}2x-12=12\\2y-3=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=12\\y=2\end{matrix}\right.\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}2x-12=8\\2y-3=9\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=10\\y=6\end{matrix}\right.\)

Vậy (x ; y) = (12 ; 2) ; (10 ; 6)

3) Biến đổi tương đương:

\(8\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b\right)^3+\left(b+c\right)^3+\left(a+c\right)^3\) (1)

\(\Leftrightarrow\left(a^3+b^3\right)+\left(b^3+c^3\right)+\left(a^3+c^3\right)+6\left(a^3+c^3+b^3\right)\)

\(\ge\left(a^3+b^3\right)+\left(b^3+c^3\right)+\left(a^3+c^3\right)+3ab\left(a+b\right)+3bc\left(b+c\right)+3ac\left(a+c\right)\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ac\left(a+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[a^3+b^3-ab\left(a+b\right)\right]+\left[a^3+c^3-ac\left(a+c\right)\right]+\left[b^3+c^3-bc\left(b+c\right)\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2+\left(a+c\right)\left(a-c\right)^2+\left(b+c\right)\left(b-c\right)^2\ge0\) luôn đúng do a, b, c > 0

=> (1) đúng

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c

\(\sqrt{1+\dfrac{1}{2}\sqrt{3}}-\sqrt{1-\dfrac{1}{2}\sqrt{3}}\)

\(=\sqrt{\dfrac{4+2\sqrt{3}}{4}}-\sqrt{\dfrac{4-2\sqrt{3}}{4}}\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}\right)-\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\left|\sqrt{3}+1\right|-\left|\sqrt{3}-1\right|\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{3}+1-\sqrt{3}+1\right)=1\left(\text{đ}pcm\right)\)

Kẻ BD _I_ AC và CE _I_ AB.

\(\Delta DAB\) vuông tại D ~ \(\Delta EAC\) vuông tại E \(\left(\widehat{A}chung\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{DA}{EA}=\dfrac{AB}{AC}\Rightarrow AD\times AC=AE\times AB\left(1\right)\)

\(\Delta MAC\) vuông tại M, \(MD\perp AC\)

\(\Rightarrow AM^2=AD\times AC\) (hệ thức lượng) (2)

\(\Delta NAB\) vuông tại N, \(NE\perp AB\)

\(\Rightarrow AN^2=AE\times AB\) (hệ thức lượng (3)

~*~*~*~*~

(1), (2) và (3) => đpcm

Bạn cũng có thể giải bằng cách đặt \(x=\dfrac{a}{a+b};y=\dfrac{b}{b+c};z=\dfrac{c}{a+c}\).

\(\left(1+\dfrac{b}{a}\right)\left(1+\dfrac{c}{b}\right)\left(1+\dfrac{a}{c}\right)=8\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{a}\times\dfrac{b+c}{b}\times\dfrac{a+c}{c}=8\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)=8abc\)

~*~*~*~*~

\(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{a+c}\)

\(=\dfrac{3}{4}+\dfrac{ab}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{bc}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\dfrac{ac}{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}\) (1)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{a+b}-\dfrac{ab}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{b}{b+c}-\dfrac{bc}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\dfrac{c}{c+a}-\dfrac{ac}{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}\)

\(=\dfrac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{a+b}\left(1-\dfrac{b}{b+c}\right)+\dfrac{b}{b+c}\left(1-\dfrac{c}{c+a}\right)+\dfrac{c}{a+c}\left(1-\dfrac{a}{a+b}\right)\)

\(=\dfrac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{a+b}\times\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{b}{b+c}\times\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{c}{a+c}\times\dfrac{b}{a+b}\)

\(=\dfrac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{ac\left(a+c\right)+ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)\left(a+b\right)}=\dfrac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow ac\left(a+c\right)+ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)=\dfrac{3}{4}\times8abc\)

\(\Leftrightarrow ac\left(a+c\right)+ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+2abc=8abc\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)=8abc\) luôn đúng

=> (1) đúng

b)

Trên đoạn thẳng AB, lấy điểm E sao cho AD = AE.

AD là đường phân giác của tam giác ABC

\(\Rightarrow\widehat{DAB}=\widehat{DAC}=\dfrac{\widehat{BAC}}{2}=\dfrac{120^0}{2}=60^0\)

Tam giác ABC có AD là đường phân giác

=> \(\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{DC}{AC}=\dfrac{BD+DC}{AB+AC}=\dfrac{BC}{AB+AC}\) (tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)

=> \(\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{AB}{AB+AC}\)

Tam giác ADE có: AD = AE, \(\widehat{DAE}=60^0\)

=> Tam giác ADE đều

=> \(\widehat{EDA}=\widehat{DAC}\left(=60^0\right)\) mà chúng nằm ở vị trí so le trong

=> ED // AC

\(\Rightarrow\dfrac{ED}{AC}=\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{AB}{AB+AC}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{AD}=\dfrac{AB+AC}{AB\times AC}=\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{AC}\left(\text{đ}pcm\right)\left(ED=AD\right)\)

a)

Kẻ DH _I_ AB và DK _I_ AC.

\(\widehat{DHA}=\widehat{HAK}=\widehat{AKD}=90^0\)

=> AKDH là hình chữ nhật có AD là đường phân giác

=> AKDH là hình vuông

=> AK = KD = DH = HA

Tam giác KAD vuông cân tại A có:

\(AD=\sqrt{2}AK\)

\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{2}}{AD}=\dfrac{1}{AK}\left(1\right)\)

~*~*~*~*~

\(S_{DAB}+S_{DAC}=S_{ABC}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}DH\times AB+\dfrac{1}{2}KD\times AC=\dfrac{1}{2}AB\times AC\)

\(\Leftrightarrow AK\times\left(AB+AC\right)=AB\times AC\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{AB+AC}{AB\times AC}=\dfrac{1}{AK}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{AC}=\dfrac{1}{AK}\left(2\right)\)

~*~*~*~*~

(1) và (2) => đpcm

Bài toán 4: Chứng minh rằng nếu p và 8p² + 1 là hai số nguyên tố thì 8p² - 1 là số nguyên tố.

Giải: Giả sử p là số nguyên tố lớn hơn 3 thế thì p có dạng 3k \(\pm\) 1 (k \(\in\) N)

=> p² = (3k + 1)² = 3(3k² \(\pm\) 2k) + 1 = 3t + 1

=> 8p² +1 = 8( 3t + 1) + 1 = 24t + 9 \(⋮\)3 => 8p² + 1 là hợp số (trái giả thiết)

Vậy p = 3k, p nguyên tố => p = 3

8p² + 1 = 8.3² + 1 = 73 ( nguyên tố)

8p² – 1 = 8.3² – 1 = 71 ( nguyên tố)

Vậy p và 8p² + 1 là hai số nguyên tố thì 8p² - 1 là số nguyên tố.

Nguồn: Google

Tìm lỗi sai:

Consequently, students should consider carefully which is the most appropriate place for them to study in order to gain big success.