a=b=c=2 thay vào ra min cái này là tay tui tự gõ ra a=b=c=2 chả có bước nào. còn chi tiết sau nhớ nhắc tui làm :D

Áp dụng BĐT Mincopxki và AM-GM có:

\(T=\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{a^2}}\)

\(\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}\)

\(\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\frac{81}{\left(a+b+c\right)^2}}\)

\(=\sqrt{\frac{81}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{16}+\frac{15\left(a+b+c\right)^2}{16}}\)

\(=\sqrt{2\sqrt{\frac{81}{\left(a+b+c\right)^2}\cdot\frac{\left(a+b+c\right)^2}{16}}+\frac{15\cdot6^2}{16}}\)

\(=\sqrt{2\sqrt{\frac{81}{16}}+\frac{15\cdot6^2}{16}}=\frac{3\sqrt{17}}{2}\)

Khi \(a=b=c=2\)

BĐt phụ : \(\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\)

c/m :\(3a^2-3ab+3b^2\ge a^2+ab+b^2\)

↔\(2a^2-4ab+2b^2\ge0\)

↔\(2\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

Giải ;

ta có:\(\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3-c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3-a^3}{c^2+ac+a^2}=\left(a-b\right)+\left(b-c\right)+\left(c-a\right)=0\)

→\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ac+a^2}\)(1)

mà \(\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\left(a+b\right)\)

↔\(\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\left(a+b\right)\)

tương tự ta có:\(\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}\ge\frac{1}{3}\left(b+c\right)\);\(\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\ge\frac{1}{3}\left(a+c\right)\)

cộng vế vs vế ta có:

\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}+\frac{a^3}{c^2+ac+a^2}\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\)

từ (1)→\(2\left(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\right)\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\)

↔ \(S\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)=1\)(đặt S luôn cho tiện)

dấu = xảy ra khi BĐt ở đầu đúng :\(\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}\)mà a+b+c=3↔a=b=c=1

Ta có 1/a+1/b=1/2=>2(a+b)=ab

đenta1+đenta 2 =a^2-4b+b^2-4a=a^2+b^2-2*2*(a+b)=a^2+b^2-2ab=(a+b)^2>=0

vậy pt luôn luôn có nghiệm

làm như giỏi lắm í, thôi khỏi nói cũng biết, ko cần thể hiện đâu

\(A=\frac{a}{\sqrt{3+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{3+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{3+c^2}}\)

     \(=\frac{a+b+c}{\sqrt{3+a^2}+\sqrt{3+b^2}+\sqrt{3+c^2}}\)

Ta có: \(\sqrt{3+a^2}+\sqrt{3+b^2}+\sqrt{3+c^2}\)

\(=\sqrt{ab+bc+ac+a^2}+\sqrt{ab+bc+ac+b^2}+\sqrt{ab+bc+ca+c^2}\)

\(=\sqrt{b\left(a+c\right)+a\left(a+c\right)}+\sqrt{b\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)}+\sqrt{b\left(a+c\right)+c\left(a+c\right)}\)

\(=\sqrt{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}+\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)

\(\le\frac{a+c+a+b}{2}+\frac{a+b+b+c}{2}+\frac{a+c+b+c}{2}\)

\(\le\frac{2a+a+2b+b+2c+c}{2}=\frac{3a+3b+3c}{2}=\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)

Suy ra : \(A=\frac{a+b+c}{\sqrt{3+a^2}+\sqrt{3+b^2}+\sqrt{3+c^2}}\ge\frac{2}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=0

Vậy A_min = \(\frac{2}{3}\)

Chắc sai. Mong bạn giúp đỡ. Cảm ơn!

Hình như đề là tìm min mới đúng chứ Incursion_03 ? nếu tìm max khúc cuối bđt nó sẽ đổi chiều thế này:

* Nếu là tìm max

Ta có: \(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(b^2+c^2+a^2\right)\ge\left(ab+bc+ca\right)^2=3^2=9\) (BĐT Bunhiaxcopki)

Hay \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge9\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\)

Mặt khác,ta lại có:

\(A^2=\frac{a^2}{3+a^2}+\frac{b^2}{3+b^2}+\frac{c^2}{3+c^2}\)

\(=\left(1+1+1\right)-\left(\frac{3}{3+a^2}+\frac{3}{3+b^2}+\frac{3}{3+c^2}\right)\)

\(=3-3\left(\frac{1}{3+a^2}+\frac{1}{3+b^2}+\frac{1}{3+c^2}\right)\)

\(\le3-\frac{27}{9+a^2+b^2+c^2}\ge3-\frac{27}{9+3}=\frac{3}{4}?!?\)

Suy ra \(A_{max}=\frac{\sqrt{3}}{2}?!?\)

Hồi nữa tui đăng bài tìm min lên sau.

áp dụng dãy tỉ số = nhau ta có

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\Rightarrow\frac{a-b}{c-d}=\frac{a+b}{c-d}\)

Ta xét

Vế 1  \(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)\(\Rightarrow\frac{ab}{cd}\)( nhân cả tử mẫu lại với nhau )

Vế 2 : \(\frac{a-b}{c-d}=\frac{a+b}{c+d}\Rightarrow\frac{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}{\left(c-d\right)\left(c+d\right)}=\frac{a^2-b^2}{c^2-d^2}\) ( nhân cả tử cả  mẫu với nhau )

Mà Vế 1 = vế 2

=> \(\frac{a^2-b^2}{c^2-d^2}=\frac{ab}{cd}\left(đpcm\right)\)

đợi tui tí dược ko