a: \(m^2+m+1=m^2+2\cdot m\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\)

Do đó: Phương trình \(\left(m^2+m+1\right)x-3=0\) luôn là pt bậc nhất 1 ẩn

b: \(m^2+2m+3=\left(m+1\right)^2+2>0\)

Do đó: Phương trình \(\left(m^2+2m+3\right)x-m+1=0\) luôn là pt bậc nhất 1 ẩn

a, Ta có : \(m^2+m+1=m^2+m+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\)

Vậy ta có đpcm 

b, Ta có : \(m^2+2m+3=m^2+2m+1+2=\left(m+1\right)^2+2>0\)

Vậy ta có đpcm 

Bài 1:

a, Thay m=-1 vào (1) ta có:
\(x^2-2\left(-1+1\right)x+\left(-1\right)^2+7=0\\ \Leftrightarrow x^2+1+7=0\\ \Leftrightarrow x^2+8=0\left(vô.lí\right)\)

Thay m=3 vào (1) ta có:

\(x^2-2\left(3+1\right)x+3^2+7=0\\ \Leftrightarrow x^2-2.4x+9+7=0\\ \Leftrightarrow x^2-8x+16=0\\ \Leftrightarrow\left(x-4\right)^2=0\\ \Leftrightarrow x-4=0\\ \Leftrightarrow x=4\)

b, Thay x=4 vào (1) ta có:

\(4^2-2\left(m+1\right).4+m^2+7=0\\ \Leftrightarrow16-8\left(m+1\right)+m^2+7=0\\ \Leftrightarrow m^2+23-8m-8=0\\ \Leftrightarrow m^2-8m+15=0\\ \Leftrightarrow\left(m^2-3m\right)-\left(5m-15\right)=0\\ \Leftrightarrow m\left(m-3\right)-5\left(m-3\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(m-3\right)\left(m-5\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=3\\m=5\end{matrix}\right.\)

c, \(\Delta'=\left[-\left(m+1\right)\right]^2-\left(m^2+7\right)=m^2+2m+1-m^2-7=2m-6\)

Để pt có 2 nghiệm thì \(\Delta'\ge0\Leftrightarrow2m-6\ge0\Leftrightarrow m\ge3\)

Theo Vi-ét:\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+2\\x_1x_2=m^2+7\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2+x_2^2=0\\ \Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=0\\ \Leftrightarrow\left(2m+2\right)^2-2\left(m^2+7\right)=0\\ \Leftrightarrow4m^2+8m+4-2m^2-14=0\\ \Leftrightarrow2m^2+8m-10=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\left(ktm\right)\\m=-5\left(ktm\right)\end{matrix}\right.\)

\(x_1-x_2=0\\ \Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=0\\ \Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=0\\ \Leftrightarrow\left(2m+2\right)^2-4\left(m^2+7\right)=0\\ \Leftrightarrow4m^2+8m+4-4m^2-28=0\\ \Leftrightarrow8m=28=0\\ \Leftrightarrow m=\dfrac{7}{2}\left(tm\right)\)

Bài 2:

a,Thay m=-2 vào (1) ta có:

\(x^2-2x-\left(-2\right)^2-4=0\\ \Leftrightarrow x^2-2x-4-4=0\\ \Leftrightarrow x^2-2x-8=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\\x=-2\end{matrix}\right.\)

b, \(\Delta'=\left(-m\right)^2-\left(-m^2-4\right)\ge0=m^2+m^2+4=2m^2+4>0\)

Suy ra pt luôn có 2 nghiệm phân biệt

Theo Vi-ét:\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\\x_1x_2=-m^2-4\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2+x_2^2=20\\ \Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=20\\ \Leftrightarrow2^2-2\left(-m^2-4\right)=20\\ \Leftrightarrow4+2m^2+8-20=0\\ \Leftrightarrow2m^2-8=0\\ \Leftrightarrow m=\pm2\)

\(x_1^3+x_2^3=56\\ \Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)=56\\ \Leftrightarrow2^3-3\left(-m^2-4\right).2=56\\ \Leftrightarrow8-6\left(-m^2-4\right)-56\\ =0\\ \Leftrightarrow8+6m^2+24-56=0\\ \Leftrightarrow6m^2-24=0\\ \Leftrightarrow m=\pm2\)

\(x_1-x_2=10\\ \Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=100\\ \Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2-100=0\\ \Leftrightarrow2^2-4\left(-m^2-4\right)-100=0\\ \Leftrightarrow4+4m^2+16-100=0\\ \Leftrightarrow4m^2-80=0\\ \Leftrightarrow m=\pm2\sqrt{5}\)

Bài 2: 

a: \(x^2-4x+3=0\)

=>x=1 hoặc x=3

\(x_1^2+x_2^2=1^2+3^2=10\)

b: \(\dfrac{1}{x_1+2}+\dfrac{1}{x_2+2}=\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{6}{5}\)

c: \(x_1^3+x_2^3=1^3+3^3=28\)

d: \(x_1-x_2=1-3=-2\)

a: =>m^2x-m^3-x+3m-2=0

=>x(m^2-1)=m^3-3m+2

=>x(m-1)(m+1)=m^3-m-2m+2=m(m-1)(m+1)-2(m-1)=(m-1)^2*(m+2)

Để đây là pt bậc nhất 1 ẩn thì (m-1)(m+1)<>0

=>m<>1 và m<>-1

b: Khi m=0 thì pt sẽ là x+2=0

=>x=-2

c: Khi x=3 thì pt sẽ là:

3(m^2-1)=m^3-3m+2

=>(m-1)^2(m+1)-3(m-1)(m+1)=0

=>(m-1)(m+1)(m-1-3)=0

=>(m-1)(m+1)(m-4)=0

=>\(m\in\left\{1;-1;4\right\}\)

Lời giải:
a. $2x+7>0$

$\Leftrightarrow x> \frac{-7}{2}$

b. 

$-5x+12<17$

$\Leftrightarrow -5x< 5$

$\Leftrightarrow 5+5x>0$

$\Leftrightarrow 5x>-5$

$\Leftrightarrow x>-1$

c. 

$-3x+5>-5x+2$

$\Leftrightarrow (-3x+5)-(-5x+2)>0$

$\Leftrightarrow 2x+3>0$

$\Leftrightarrow x> \frac{-3}{2}$

d.

$\frac{x}{2}+3< 7$

$\Leftrightarrow \frac{x}{2}< 4$

$\Leftrightarrow x< 8$

\(1,\\ a,ĐK:m\ne1\\ \Delta=49+48\left(m-1\right)=48m+1\\ \text{PT vô nghiệm }\Leftrightarrow48m+1< 0\Leftrightarrow m< -\dfrac{1}{48}\\ \text{PT có nghiệm kép }\Leftrightarrow48m+1=0\Leftrightarrow m=-\dfrac{1}{48}\\ \text{PT có 2 nghiệm phân biệt }\Leftrightarrow48m+1>0\Leftrightarrow m>-\dfrac{1}{48};m\ne1\)

\(b,\Delta=4\left(m-1\right)^2+4\left(2m+1\right)=4m^2+8>0,\forall m\\ \text{Vậy PT có 2 nghiệm phân biệt với mọi m}\\ 2,\\ \text{PT có 2 nghiệm phân biệt }\)

\(\Leftrightarrow\Delta=4\left(m+1\right)^2-4\left(m^2-1\right)>0\\ \Leftrightarrow4m^2+8m+4-4m^2+4>0\\ \Leftrightarrow8m+8>0\\ \Leftrightarrow m>-1\)

a) Để (m-4)x+2-m=0 là phương trình bậc nhất ẩn x thì \(m-4\ne0\)

hay \(m\ne4\)

b) Để \(\left(m^2-4\right)x-m=0\) là phương trình bậc nhất ẩn x thì \(m^2-4\ne0\)

\(\Leftrightarrow m^2\ne4\)

hay \(m\notin\left\{2;-2\right\}\)

c) Để \(\left(m-1\right)x^2-6x+8=0\) là phương trình bậc nhất ẩn x thì \(m-1=0\)

hay m=1

d) Để \(\dfrac{m-2}{m-1}x+5=0\) là phương trình bậc nhất ẩn x thì \(\dfrac{m-2}{m-1}\ne0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-2\ne0\\m-1\ne0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne2\\m\ne1\end{matrix}\right.\)

a. m² ≥ 0 ∀ m 

=>  m² +1> 0 ∀ m 

b. m² +2m +3 = m² + 2m +1 +2 = (m + 1)² + 2 > 0 ∀ m 

c. m² ≥ 0 ∀ m

=>  m² +2> 0 ∀ m 

d.   m² - 2m +2 =  m² -2m + 1 +1 =  (m - 1)² + 1 > 0 ∀ m 

a) Để phương trình \(\left(m^2+1\right)x-3=0\) là phương trình bậc nhất một ẩn thì \(m^2+1\ne0\)

\(\Leftrightarrow m^2\ne-1\)

mà \(m^2\ge0\forall m\)

nên \(m^2\ne-1\forall m\)

\(\Leftrightarrow m^2+1\ne0\forall m\)

Vậy: Phương trình \(\left(m^2+1\right)x-3=0\) là phương trình bậc nhất một ẩn với mọi giá trị của tham số m

b) Để phương trình \(\left(m^2+2m+3\right)x+m-1=0\) là phương trình bậc nhất một ẩn thì \(m^2+2m+3\ne0\)

\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)^2+2\ne0\)

mà \(\left(m+1\right)^2+2\ge2>0\forall m\)

nên \(\left(m+1\right)^2+2\ne0\forall m\)

hay \(m^2+2m+3\ne0\forall m\)

Vậy: Phương trình \(\left(m^2+2m+3\right)x+m-1=0\) luôn là phương trình bậc nhất một ẩn với mọi tham số m

c) Để phương trình \(\left(m^2+2\right)x-4=0\) là phương trình bậc nhất một ẩn thì \(m^2+2\ne0\)

\(\Leftrightarrow m^2\ne-2\)

mà \(m^2\ge0\forall m\)

nên \(m^2\ne-2\forall m\)

\(\Leftrightarrow m^2+2\ne0\forall m\)

Vậy: Phương trình \(\left(m^2+2\right)x+4=0\) là phương trình bậc nhất một ẩn với mọi giá trị của tham số m

d) Để phương trình \(\left(m^2-2m+2\right)x+m=0\) là phương trình bậc nhất một ẩn thì \(m^2-2m+2\ne0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2+1\ne0\)

mà \(\left(m-1\right)^2+1\ge1>0\forall m\)

nên \(\left(m-1\right)^2+1\ne0\forall m\)

hay \(m^2-2m+2\ne0\forall m\)

Vậy: Phương trình \(\left(m^2-2m+2\right)x+m=0\) luôn là phương trình bậc nhất một ẩn với mọi tham số m