câu này đưa về tam thức bậc 2 là được

làm denta cũng đc

ta có : 3-Q=\(\dfrac{2\left(a+b\right)^2}{a^2+ab+b^2}\)>=0

\(\Rightarrow\) Max Q=3

ta có : Q-\(\dfrac{1}{3}\)= \(\dfrac{2\left(a-b\right)^2}{3\left(a^2+ab+b^2\right)}\)>=0

\(\Rightarrow\)Min Q=\(\dfrac{-1}{3}\)

Hãy dùng phương pháp tập thể dục như của Hung nguyen nhé

Theo bài ra , ta có :

\(Q=\dfrac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}=\dfrac{a^2+ab+b^2-2ab}{a^2+ab+b^2}=1-\dfrac{2ab}{a^2+ab+b^2}\)

Vì a,b đồng thời không bằng không ta chia cả tử và mẩu cho 2ab , ta được

\(\dfrac{2a}{a^2+ab+b^2}=\dfrac{1}{\dfrac{a^2}{2ab}+1+\dfrac{b^2}{2ab}}=\dfrac{1}{\dfrac{a}{2b}+1+\dfrac{b}{2a}}\)

Vì a,b khác 0 =) a/2b , b/2a khác 0

Áp dụng BĐT cô si cho 2 số a/2b , b/2a khác 0

\(\Rightarrow\dfrac{a}{2b}+\dfrac{b}{2a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{2b}.\dfrac{b}{2a}}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{2b}+\dfrac{b}{2a}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{2b}+1+\dfrac{b}{2a}\ge1+\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{4}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\dfrac{a}{2b}+1+\dfrac{b}{2a}}\le\dfrac{1}{\dfrac{5}{4}}=\dfrac{4}{5}\)

\(\Leftrightarrow1-\dfrac{1}{\dfrac{a}{2b}+1+\dfrac{b}{2a}}\le\dfrac{1}{5}\)

\(\Rightarrow Max_Q=\dfrac{1}{5}\Leftrightarrow\dfrac{a}{2b}=\dfrac{b}{2a}\Leftrightarrow\dfrac{a}{2b}-\dfrac{b}{2a}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b\\a=-b\end{matrix}\right.\)

mà a và b là hai số khác 0 =) a = b

Vậy GTLN của Q là 1/5 khi và chỉ khi a = b

Tìm Min

\(Q=1-\dfrac{2ab}{a^2+ab+b^2}\ge1-\dfrac{2ab}{2ab+ab}=1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b

Bổ đề \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\left(\forall x,y\inℝ\right)\)

Ta có \(Q=1-\frac{2ab}{a^2+ab+b^2}\)

do \(a^2+ab+b^2=\left(a+b\right)^2-ab\ge\frac{3}{4}\left(a+b\right)^2\)

Nên \(\frac{2ab}{a^2+ab+b^2}\le\frac{2ab}{\frac{3}{4}\left(a+b\right)^2}\le\frac{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}{\frac{3}{4}\left(a+b\right)^2}=\frac{2}{3}\)

=> \(Q\ge\frac{1}{3}\)

dấu "=" xảy ra khi zà chỉ khi a=b

ta có \(4=2a^2+\frac{b^2}{4}+\frac{1}{a^2}=a^2+a^2+\frac{b^2}{4}+\frac{1}{a^2}\ge4\sqrt[4]{\frac{a^2.a^2.b^2}{4a^2}}\)

Vậy\(\sqrt[4]{\frac{a^2b^2}{4}}\le1\Leftrightarrow a^2b^2\le4\Leftrightarrow-2\le ab\le2\)

Vậy \(2007\le ab+2009\le2011\)

\(A=\frac{1}{1+\frac{b}{a}+\left(\frac{b}{a}\right)^2}=\frac{1}{t^2+t+1}\) (chia cả tử và mẫu cho a² rồi đặt \(t=\frac{b}{a}\))

Khi đó \(\frac{1}{2}\le t\le2\)

Ta có:

+) \(t\left(t-\frac{1}{2}\right)\ge0\Rightarrow t^2\ge\frac{1}{2}t\Rightarrow A=\frac{1}{t^2+t+1}\le\frac{1}{\frac{3}{2}t+1}\le\frac{1}{\frac{3}{2}.\frac{1}{2}+1}=\frac{4}{7}\)

Đẳng thức xảy ra khi ...

Vậy..

+) \(t\left(t-2\right)\le0\Rightarrow t^2\le2t\Rightarrow A=\frac{1}{t^2+t+1}\ge\frac{1}{3t+1}\ge\frac{1}{3.2+1}=\frac{1}{7}\)

Đẳng thức xảy ra khi ...

Vậy..

P/s: Em ko chắc!

Đúng rồi nha còn một cách nữa là biến đổi tương đương nha mn

à mà mình quên bổ sung

Amin=1/7 khi a=1,b=2

Amax =4/7 khi b=1,a=2 nha mn