Cho IMN vuông tại I, H là trung điểm của MN. Biết MN = 12 (cm)
Từ H kẻ HE vuông góc IM tại E (E e IM) và HF vuông góc IN tại F (F e IN)
a)Tính IH.
b) Chứng minh IEHF là hình gi ? vì sao ?
Bài 4: Cho ∆ABC vuông tại A ( AB < AC ) , đường cao AH (H \in BC) . Kẻ HD vuông góc với AB tại D và HE vuông góc với AC tại E.
a) Tứ giác ADHE là hình gì? Vì sao?
b) Lấy điểm F sao cho E là trung điểm HF. Chứng minh: Tứ giác ADEF là hình bình hành.
c) Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh: AM vuông góc với AF.
a: Xét tứ giác ADHE có
\(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)
=>ADHE là hình chữ nhật
b: Ta có: ADHE là hình chữ nhật
=>AD//HE và AD=HE
Ta có: AD//HE
F\(\in\)HE
Do đó: AD//HF
Ta có: AD=HE
HE=EF
Do đó: AD=EF
Xét tứ giác ADEF có
AD//EF
AD=EF
Do đó: ADEF là hình bình hành
c: ta có: AEHD là hình chữ nhật
=>\(\widehat{AED}=\widehat{AHD}\)
mà \(\widehat{AHD}=\widehat{ABC}\left(=90^0-\widehat{ACB}\right)\)
nên \(\widehat{AED}=\widehat{ABC}\)
Ta có: ΔABC vuông tại A
mà AM là đường trung tuyến
nên MA=MB=MC
Ta có: MA=MC
=>\(\widehat{MAC}=\widehat{MCA}\)
Ta có: \(\widehat{AED}+\widehat{MAC}\)
\(=\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^0\)
=>AM\(\perp\)ED
mà ED//AF(ADEF là hình bình hành)
nên AM\(\perp\)AF
a) Tứ giác ADHE là hình chữ nhật.
- Vì AD vuông góc với AB và HE vuông góc với AC (do HD và HE lần lượt là đường cao của tam giác ABC), nên ADHE là hình chữ nhật.
b) Lấy điểm F sao cho E là trung điểm của HF.
- Vì E là trung điểm của HF, nên EF = FH.
- Ta cũng có HE = EA (do E là trung điểm của HF và EA).
- Từ đó, ta có EF = FH = HE = EA.
- Vậy, tứ giác ADEF có các cạnh đối diện bằng nhau, là đặc điểm của hình bình hành.
c) Gọi M là trung điểm của BC. Chúng ta cần chứng minh AM vuông góc với AF.
- Ta biết rằng E là trung điểm của HF (theo phần b).
- Vì M là trung điểm của BC, nên BM = MC.
- Từ đó, ta có AM = BM = MC.
- Vì EF = FH = HE = EA (theo phần b), nên tứ giác ADEF là hình bình hành.
- Do đó, ta có AF song song với DE.
- Vì AM = MC và AF song song với DE, nên AM vuông góc với AF.
Vậy, ta đã chứng minh được AM vuông góc với AF.
Cho tam giác ABC vuông tại A, AH Vuông góc với BC ( H thuộc BC ) kẻ HE vuông góc AB tại E ,HF Vuông góc với ÁC tại F trên tia HE lấy M sao cho EM = EH trên tia HF lấy N sao cho FN = FH chứng minh A là trung điểm MN
Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC ) . Gọi I là trung điểm của BC . Qua I vẽ IM vuông góc AB tại M và IN vuông góc AC tại N .
a ) Tứ giác AMIN là hình gì ? Vì sao?
b ) Gọi D là điểm đối xứng của I qua N . Chứng minh : ADCI là hình thoi .
c ) Đường thẳng BC cắt DC tại K . Chứng minh : \(\frac{DC}{DK}\)= \(\frac{1}{3}\)
Bài 2 : Cho tam giác MNK vuông góc tại M ( MN< MK ) . Gọi H là trung điểm của NK . Qua H vẽ HD vuông góc với MN , HE vuông góc với NK tại E .
a ) Tứ giác MDHE là hình gì ? Vì sao ?
b ) Gọi P là diểm đối xứng với H qua E . Chứng minh : MPKH là hình thoi =
c ) Đường thẳng NF cắt PK tại F . Chứng minh \(\frac{PF}{PK}\)= \(\frac{1}{3}\)
Hướng giải:
a) Hình chữ nhật : dấu hiệu tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật
b) C/m IN là đg tb của tam giác ABC => NA = NC
Tứ giác ADCI là hình thoi: dấu hiệu hai đg chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
c) BC cắt DC tại C chứ. (hai đoạn này chỉ có 1 điểm chung)
*CHÚ Ý: phía trên ko phải là bài giải. Chỉ lả gợi ý giải.
Bài 2:
a) HE//MN ( _|_ KM) và M^ = 90o => hình thang vuông
b) Tương tự câu b bài 1
c) Thắc mắc về đề bài. Tương tự câu c bài 1
Cho tam giác ABC vuông tại A ; AH vuông góc với BC tại H . Điểm E đối xứng với H qua AB , điểm F đối xứng với H qua AC . AB cắt EH tại M , AC cắt HF tại N
a. Tứ giác AMHN là hình gì ? Vì sao ?
b. Chứng minh E đối xứng với F qua A
c. Kẻ trung tuyến AI của tam giác ABC .Chứng minh AI vuông góc MN
Cho tam giác ABC có đường cao AE, BD cắt nhau tại H. từ E kẻ EK vuông góc AC, HK cắt ED tại I. từ I kẻ IM vuông góc AC. N là giao điểm của Im và AE. CM
a, I là trung điểm của MN
b, 1/HD + 1/EK = 2/MN
Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ AH vuông góc với BC tại H.
1) Chứng minh tam giác ABH = tam giác ACH và H là trung điểm của BC.
2) Nếu có AB = 10cm, BC = 12 cm, hãy tính độ dài đoạn thẳng AH.
3) Kẻ HE vuông góc với AB tại E, HF vuông góc với AC tại F. Lấy các điểm M và N sao cho E là trung điểm của HM, F là trung điểm của HN. Chứng minh AN = AH.
4) Tam giác ABC cần thêm điều kiện gì thì A là trung điểm của MN?
Giúp mik vs ạ mik đang cần gấp.
1: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAHC vuông tại H có
AB=AC
AH chung
Do đó: ΔAHB=ΔAHC
=>HB=HC
=>H là trung điểm của BC
2: Ta có: H là trung điểm của BC
=>\(HB=HC=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{12}{2}=6\left(cm\right)\)
ΔAHB vuông tại H
=>\(HA^2+HB^2=AB^2\)
=>\(HA^2=10^2-6^2=64\)
=>\(HA=\sqrt{64}=8\left(cm\right)\)
3: Xét ΔAHN có
AF là đường cao
AF là đường trung tuyến
Do đó: ΔAHN cân tại A
=>AH=AH
4: Xét ΔAHM có
AE là đường trung tuyến
AE là đường cao
Do đó: ΔAHM cân tại A
=>AM=AH
Ta có: ΔAHN cân tại A
mà AC là đường cao
nên AC là phân giác của góc HAN
=>\(\widehat{HAN}=2\cdot\widehat{HAC}\)
Ta có: ΔAHM cân tại A
mà AB là đường cao
nên AB là phân giác của góc HAM
=>\(\widehat{HAM}=2\cdot\widehat{HAB}\)
Ta có: AM=AH
AH=AN
Do đó: AM=AN
Ta có: \(\widehat{HAM}+\widehat{HAN}=\widehat{MAN}\)
=>\(\widehat{MAN}=2\cdot\left(\widehat{HAB}+\widehat{HAC}\right)\)
=>\(\widehat{MAN}=2\cdot\widehat{BAC}\)
Để A là trung điểm của MN thì AM=AN và góc MAN=180 độ
=>góc MAN=180 độ
=>\(2\cdot\widehat{BAC}=180^0\)
=>\(\widehat{BAC}=90^0\)
Cho tam giác ABC vuông tại A ,đường cao AH. D,E lần lượt là trung điểm của AB và AC. a) tứ giác AHDE, DECH là hình gì? vì sao. F đối xứng với H qua E. Tứ giác AHCF là hình gì?vì sao. c) DF cắt AE tại M, DC cắt HE tại N Chứng minh MN vuông góc với DE
a: Xét ΔABC có
D,E lần lượt là trung điểm của AB,AC
=>DE là đường trung bình của ΔABC
=>DE//BC và \(DE=\dfrac{1}{2}BC\)
DE//BC
mà H\(\in\)BC
nên DE//CH
Xét tứ giác DECH có DE//CH
nên DECH là hình thang
Ta có: ΔHAB vuông tại H
mà HD là đường trung tuyến
nên \(HD=DA=DB=\dfrac{AB}{2}\)
Ta có: ΔHAC vuông tại H
mà HE là đường trung tuyến
nên \(HE=AE=EC=\dfrac{AC}{2}\)
Xét ΔEAD và ΔEHD có
EA=EH
DA=DH
ED chung
Do đó: ΔEAD=ΔEHD
=>\(\widehat{EAD}=\widehat{EHD}=90^0\)
Xét tứ giác ADHE có
\(\widehat{DAE}+\widehat{DHE}=90^0+90^0=180^0\)
=>ADHE là tứ giác nội tiếp
b: Xét tứ giác AHCF có
E là trung điểm chung của AC và HF
=>AHCF là hình bình hành
Hình bình hành AHCF có \(\widehat{AHC}=90^0\)
nên AHCF là hình chữ nhật
Cho △ABC vuông tại A, AH ⊥ BC tại H; AB=8cm; AC=15cm.
a) Tính BH, AH.
b) Từ H kẻ HE ⊥ AB tại E, HF ⊥ AC tại F. Tính EF.
c) Chứng minh AE * AB = AF * AC
d) Qua A kẻ đường vuông góc với EF tại I ,cắt BC tại M. Chứng minh M là trung điểm của BC.
e) Biết diện tích △ABC gấp đôi diện tích tứ giác AEHF. Chứng minh △ABC vuông cân.
c) \(\widehat{AEF}=\widehat{EAH}=90^0-\widehat{ABH}=\widehat{ACB}\)
\(\Rightarrow\)△AFE∼△ABC (g-g)
\(\Rightarrow\dfrac{AF}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\Rightarrow AB.AE=AC.AF\).
d) \(\widehat{CAM}=90^0-\widehat{AFE}=90^0-\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)
\(\Rightarrow\)△ACM cân tại M \(\Rightarrow MA=MC\left(1\right)\)
\(\widehat{BAM}=90^0-\widehat{AEF}=90^0-\widehat{ACB}=\widehat{ABC}\)
\(\Rightarrow\)△ABM cân tại M \(\Rightarrow MA=MB\left(2\right)\)
-Từ (1) và (2) suy ra: \(MB=MC\) nên M là trung điểm BC.
e) \(\dfrac{S_{AFE}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{EF}{BC}\right)^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{\dfrac{1}{2}S_{AEHF}}{2S_{AEHF}}=\left(\dfrac{EF}{BC}\right)^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{4}=\left(\dfrac{EF}{BC}\right)^2\Rightarrow\dfrac{EF}{BC}=\dfrac{AH}{BC}=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow H\equiv M\)
\(\Rightarrow\)△ABC vuông cân tại A.
Cho tam giác MNP vuông tại N. Gọi I là trung điểm của cạnh NP. Trên tia đối của tia IM lấy điểm D sao cho IM = ID.
a) Chứng minh ;
b) Chứng minh MN = DP và DP vuông góc với NP.
c) Gọi H là trung điểm của MN, vẽ điểm E sao cho H là trung điểm của PE. Chứng minh N là trung điểm của ED.
b) Xét tứ giác MNDP có:
+ I là trung điểm của cạnh NP (gt).
+ I là trung điểm của cạnh DM (IM = ID).
=> Tứ giác MNDP là hình bình hành (dhnb).
=> MN = DP (Tính chất hình bình hành).
Ta có: NM \(\perp\) NP (Tam giác MNP vuông tại N).
Mà NM // DP (Tứ giác MNDP là hình bình hành).
=> DP \(\perp\) NP (đpcm).
c) Xét tứ giác ENPM có:
+ H là trung điểm của cạnh MN (gt).
+ H là trung điểm của cạnh PE (gt).
=> Tứ giác ENPM là hình bình hành (dhnb).
=> EN // MP (Tính chất hình bình hành).
Mà ND // MP (Tứ giác MNDP là hình bình hành).
=> 3 điểm E; N; D thẳng hàng. (1)
Ta có: EN = MP (Tứ giác ENPM là hình bình hành).
Mà ND = MP (Tứ giác MNDP là hình bình hành).
=> EN = ND. (2)
Từ (1) và (2) => N là trung điểm của ED (đpcm).