Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau , ta có :

\(\frac{a}{2012}=\frac{b}{2013}=\frac{c}{2014}=\frac{a-b}{2012-2013}=\frac{b-c}{2013-2014}=\frac{c-a}{2014-2012}\)

\(\Rightarrow\frac{a-b}{-1}=\frac{b-c}{-1}=\frac{c-a}{2}\)

\(\Rightarrow\left(\frac{a-b}{-1}\right)\left(\frac{b-c}{-1}\right)=\left(\frac{c-a}{2}\right)^2\)

hay \(\left(a-b\right)\left(b-c\right)=\frac{\left(c-a\right)^2}{4}\)

\(\Rightarrow4\left(a-b\right)\left(b-c\right)=\left(c-a\right)^2\)

Đặt \(\frac{a}{2012}=\frac{b}{2013}=\frac{c}{2014}=k\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=2012k\\b=2013k\\c=2014k\end{cases}}\)

A = 4( a - b )( b - c ) - ( c - a )²

= 4( 2012k - 2013k )( 2013k - 2014k ) - ( 2014k - 2012k )²

= 4.( -k ).( -k ) - ( 2k )²

= 4k² - 4k² = 0

Bài 2)

Ta có \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\)

\(\Rightarrow ad< bc\)

Xét \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\)

\(\Rightarrow a\left(b+d\right)< b\left(a+c\right)\)

\(\Rightarrow ab+ad< ab+bc\)

\(\Rightarrow ad< bc\) ( thỏa mãn đề bài )

Vậy \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\) (1)

Xét \(\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)

\(\Rightarrow d\left(a+c\right)< c\left(b+d\right)\)

\(\Rightarrow ad+cd< bc+cd\)

\(\Rightarrow ad< bc\) ( thỏa mãn đề bài )

Vậy \(\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\) (2)

Từ (1) và (2)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\) (đpcm)

Ta có \(\frac{a}{2012}\)= \(\frac{b}{2013}\)= \(\frac{c}{2014}\)= b - a = c - b = \(\frac{c\:-a}{2}\)

Từ đó ta có A= 4(a-b)(b-c)-(c-a)² = 4(-\(\frac{c\:-a}{2}\))(-\(\frac{c\:-a}{2}\)) - (c - a)² = )  (c - a)² - (c - a)² = 0

\(\frac{a}{2014}=\frac{b}{2015}=\frac{c}{2016}=\frac{a-b}{2014-2015}=\frac{b-c}{2015-2016}=\frac{c-a}{2016-2014}\)

=\(\frac{a-b}{-1}=\frac{b-c}{-1}=\frac{c-a}{2}\)=>\(\frac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}{\left(-1\right)\left(-1\right)}=\frac{\left(c-a\right)^2}{2^2}=\frac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}{1}=\frac{\left(c-a\right)^2}{4}\Leftrightarrow4\left(a-b\right)\left(b-c\right)=\left(c-a\right)^2\)

Đặt \(\frac{a}{2013}=\frac{b}{2014}=\frac{c}{2015}=k\) => a=2013k; b=2014k; c=2015k

Ta có: 4(a-b)(b-c) = 4(2013k-2014k)(2014k-2015k)

= 4(-k)(-k) = 4k² (1)

Lại có: (c-a)² = (2015k-2013k)² = (2k)² = 4k² (2)

Từ (1) và (2) => 4(a-b)(b-c)=(c-a)² (đpcm)

Ta có: 4(a-b)(b-c) = 4(2013k-2014k)(2014k-2015k)

= 4(-k)(-k) = 4k2 (1)

Lại có: (c-a)2 = (2015k-2013k)2 = (2k)2 = 4k2 (2)

Từ (1) và (2) => 4(a-b)(b-c)=(c-a)2 (đpcm)

Các bạn k cần trả lời nữa! Thông cảm nha!

Do \(ab+bc+ac=2014\) nên từ giả thiết tương đương :

\(\frac{a^2+ab+bc+ac}{a+b}+\frac{b^2+ab+bc+ca}{b+c}+\frac{c^2+ab+bc+ca}{c+a}\)

\(=\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{\left(a+b\right)}+\frac{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}{a+b}+\frac{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}{c+a}\)

\(=a+c+b+a+c+b=2\left(a+b+c\right)\) (đpcm )

Đặt a/2014 = b/2015 = c/2016 = k => a = 2014k; b = 2015k; c= 2016k

Ta có : 4(a-b)(b-c)=4(2014k-2015k)(2015k-2016k)

        =4(-1k)(-1k)=4k^2 (1) (c-a)^2

        =(2016-2014)^2=(2k)^2=4k^2 (2)

Từ (1) và (2) => ............

1; 2 ;3

Đặt dãy tỉ số = k 

=> a = 2014k , b = 2015k , c = 2016k

Thay a,b,c vào đẳng thức dưới => ĐPCM