Cho các số x,y,z thỏa mãn:x2+y2+z2=xy+yz+zx và x2014+y2014+z2014=3. Tính giá trị cua biểu thức P=x25+y4+z2015
Với x; y; z là các số thực thỏa mãn x + y + z + xy + yz + zx = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 4 + x 4 + 4 + y 2 + 4 + z 2
A. P min = 5
B. P min = 3 5
C. P min = 5 3
D. P min = 3
Cho x, y, z > 0 thỏa mãn xy + yz + zx = 1. Tính giá trị của biểu thức
A = x 1 + y 2 1 + z 2 1 + x x + y 1 + z 2 1 + x 2 1 + y 2 + z 1 + x 2 1 + y 2 1 + z 2
A. A = 1
B. A = 3
C. A = 2
D. A = 0
Chọn đáp án C.
Vì x, y ,z > 0 nên x + y > 0; y + z > 0 và x + z > 0
Ta có:
Khi đó
A = x(y + z) + y(x + z) + z(x + y)
= xy + xz + xy + yz + xz + zy = 2(xy + yz + zx) = 2
Cho các số thực x, y, z thay đổi và thỏa mãn điều kiện x 2 + y 2 + z 2 = 1 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x y + y z + 2 x z 2 − 8 x + y + z 2 − x y − y z + 2
A. min P = − 5
B. min P = 5
C. min P = 3
D. min P = − 3
Đáp án D
Ta có C 12 1 . C 10 1 = 120
Khi đó C 12 1 . C 10 1 = 120 . Đặt C 12 1 . C 10 1 = 120
Ta luôn có C 12 1 . C 10 1 = 120
C 12 1 . C 10 1 = 120 Suy ra C 12 1 . C 10 1 = 120
Xét hàm số f t = t 2 − 8 t + 3 trên khoảng − 1 ; + ∞ ,có f ' t = 2 t + 1 2 t + 4 t + 3 2 > 0 ; ∀ t > − 1
Hàm số f(t) liên tục trên − 1 ; + ∞ ⇒ f t đồng biến trên − 1 ; + ∞
Do đó, giá trị nhỏ nhất của f(t) là min − 1 ; + ∞ f t = f − 1 = − 3 . Vậy P min = − 3
cho các số thực dưong x,y,z thỏa mãn : x2+y2+z2=3
chứng minh rằng : \(\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\dfrac{y}{\sqrt[3]{zx}}+\dfrac{z}{\sqrt[3]{xy}}\ge xy+yz+zx\)
nhờ mn giúp mk bài này vs ạ
mk đang cần gấp !
cảm ơn mn nhiều
Đặt \(\left(\sqrt[3]{x};\sqrt[3]{y};\sqrt[3]{z}\right)=\left(a;b;c\right)\) \(\Rightarrow a^6+b^6+c^6=3\)
\(a^6+a^6+a^6+a^6+a^6+1\ge6a^5\)
Tương tự: \(5b^6+1\ge6b^5\) ; \(5c^6+1\ge6c^5\)
Cộng vế với vế: \(18=5\left(a^6+b^6+c^6\right)+3\ge6\left(a^5+b^5+c^5\right)\)
\(\Rightarrow3\ge a^5+b^6+b^5\)
BĐT cần chứng minh: \(\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ca}+\dfrac{c^3}{ab}\ge a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\)
Ta có:
\(\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ca}+\dfrac{c^3}{ab}\ge\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}\ge a+b+c\) (1)
Mà \(3\left(a+b+c\right)\ge\left(a^5+b^5+c^5\right)\left(a+b+c\right)\ge\left(a^3+b^3+c^3\right)^2\ge3\left(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\right)\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\) (2)
Từ (1);(2) \(\Rightarrow\) đpcm
Cho các số x,y,z thỏa mãn x+y+z = 3
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = xy + yz + zx
Ta có: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
<=>\(x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\ge3\left(xy+yz+zx\right)\)<=>\(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\)
<=>\(3^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\)<=>\(P=xy+yz+zx\le3\)=>Pmax=3 <=> x=y=z=1
Ta có BĐT đúng sau:
x2 + y2 + z2 >= xy + yz + zx
<=> (x + y + z)2 >= 3(xy + yz + zx)
<=> 9 >= 3 P <=> P <=3 (dấu bằng khi x = y = z =1)
\(\text{cho x,y,z là các số thực khác 0 và thỏa mãn điều kiện xy+yz+zx=0. Tính giá trị của biểu thức A= }\dfrac{x+y}{z}+\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{x+z}{y}\)
\(\dfrac{x+y}{z}+\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{x+z}{y}=\dfrac{x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+x^2z+xz^2}{xyz}=\dfrac{-3xyz}{xyz}=-3\)
đề cho xy+yz+xz=0 nhân cả 2 vế với -z
=>-xyz-\(z^2\left(y+x\right)\)=0
=>-xyz=\(z^2x+z^2y\)
cmtt bạn nhân với -y và -z
=>-3xyz=\(x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+x^2z+xz^2\)
Cho các số thực dương x, y, z thay đổi và thỏa mãn: 5 x 2 + y 2 + z 2 = 9 x y + 2 y z + z x . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = x y 2 + z 2 - 1 x + y + x 3 bằng
A. 18..
B. 12.
C. 16.
D. 24.
Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x^3+y^3+z^3=24.Tìm GTNN cua biểu thức
P=\((xyz+2(x+y+z)^2)/(xy+yz+zx)-8/(xy+yz+zx+1)\)
Cho x,y,z là các số thực khác 0 thỏa mãn: xy+ yz+ xz=0.
Tính giá trị biểu thức:
M=\(\frac{yz}{x^2}+\frac{zx}{y^2}+\frac{xy}{z^2}\)
ta có xy+yz+zx=0=> \(\frac{xy+yz+zx}{xyz}=0\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)
đặt \(\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b,\frac{1}{z}=c\Rightarrow a+b+c=0\)
ta xét \(a^3+b^3+c^3-3abc=a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)+c^3-3ab-3abc\)
\(=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b+c\right)=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)
=> \(a^3+b^3+c^3=3abc\) \(\Rightarrow\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=\frac{3}{xyz}\)
=> \(M=\frac{yz}{x^2}+\frac{zx}{y^2}+\frac{xy}{z^2}=\frac{xyz}{x^3}+\frac{xyz}{y^3}+\frac{xyz}{z^3}=xyz\left(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}\right)=xyz.\frac{3}{xyz}=3\)
=> M=3