x^2 + y^2 -xy=5 
<=>2x^2 + 2y^2 = 10+2xy 
=> 3x^2 + 3y^2 = 10 + (x+y)^2 => 3(x^2+y^2)=10+(x+y)^2 
=>3A = 10+(x+y)^2 => 3A >= 10 => A >= 10/3 
=> Amin =10/3 khi và chỉ khi x=y=(+-) căn 5/3 

bo như ngù

Cau 1: Ta có: 
A=x^2 - 2*3x + 9 +2(y^2 - 2y +1) + 7 
=(x-3)^2 +2(y-1)^2 +7 >+ 7 
=> minA= 7 <=> x=3 và y=1

câu 1 đâu có y

1.

$x(x+2)(x+4)(x+6)+8$

$=x(x+6)(x+2)(x+4)+8=(x^2+6x)(x^2+6x+8)+8$

$=a(a+8)+8$ (đặt $x^2+6x=a$)

$=a^2+8a+8=(a+4)^2-8=(x^2+6x+4)^2-8\geq -8$

Vậy $A_{\min}=-8$ khi $x^2+6x+4=0\Leftrightarrow x=-3\pm \sqrt{5}$

2.

$B=5+(1-x)(x+2)(x+3)(x+6)=5-(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)$

$=5-(x^2+5x-6)(x^2+5x+6)$

$=5-[(x^2+5x)^2-6^2]$

$=41-(x^2+5x)^2\leq 41$

Vậy $B_{\max}=41$. Giá trị này đạt tại $x^2+5x=0\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=-5$

3.

Đặt $x+3=a; 7-x=b$ thì $a+b=10$ 

$C=a^4+b^4$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(a^4+b^4)(1+1)\geq (a^2+b^2)^2$

$\Rightarrow C\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{2}$
$(a^2+b^2)(1+1)\geq (a+b)^2=100$

$\Rightarrow a^2+b^2\geq 50$

$\Rightarrow C\geq \frac{50^2}{2}=1250$

Vậy $C_{\min}=1250$

Giá trị này đạt tại $a=b=5\Leftrightarrow x=2$

Lời giải:

Sử dụng BĐT sau:

Cho $a,b$ thực. Khi đó $|a|+|b|\geq |a+b|$. Dấu "=" xảy ra khi $ab\geq 0$. Áp dụng vào bài toán:

$|x-2018|+|x-2022|=|x-2018|+|2022-x|\geq |x-2018+2022-x|=4$

$|x-2020|\geq 0$ (theo tính chất trị tuyệt đối)

$\Rightarrow A\geq 4+0=4$

Vậy GTNN của $A$ là $4$. Giá trị này đạt được khi $(x-2018)(2022-x)\geq 0$ và $x-2020=0$

Hay khi $x=2020$

@Vũ Văn Tuần:

Để biết vì sao $|a|+|b|\geq |a+b|$ đạt dấu "=" khi $ab\geq 0$ thì bạn đi chứng minh BĐT này thôi.

Xét các TH sau:

TH1: Ít nhất 1 trong 2 số bằng 0. Không mất tính tổng quát giả sử $a=0$. Khi đó: $|a|+|b|=|b|=|b+0|=|a+b|$

TH2: $a,b$ đều khác 0. Xét các TH nhỏ hơn:

TH2.1: $a,b$ cùng dương kéo theo $a+b$ dương. Khi đó:
$|a|=a; |b|=b; |a+b|=a+b$

$\Rightarrow |a|+|b|=|a+b|$

TH2.2: $a,b$ cùng âm thì kéo theo $a+b<0$ Khi đó:
$|a|=-a; |b|=-b; |a+b|=-(a+b)$
$\Rightarrow |a|+|b|=-a+(-b)=-(a+b)=|a+b|$

TH2.3: $a,b$ khác dấu. Không mất tính tổng quát giả sử $a$ dương $b$ âm.

$\Rightarrow |a|=a; |b|=-b$

Nếu $a+b\geq 0$ thì $|a+b|=a+b$

$\Rightarrow |a|+|b|-|a+b|=a+(-b)-(a+b)=-2b>0$ do $b<0$

$\Rightarrow |a|+|b|> |a+b|$

Nếu $a+b<0$ thì $|a+b|=-(a+b)$

$\Rightarrow |a|+|b|-|a+b|=a+(-b)--(a+b)=a+(-b)+a+b=2a> 0$ do $a>0$

$\Rightarrow |a|+|b|> |a+b|$ 

Từ các TH đã xét ta suy ra $|a|+|b|\geq |a+b|$

Dấu "=" xảy ra khi $a,b$ cùng dương, $a,b$ cùng âm hoặc ít nhất 1 trong 2 số $a,b$ bằng $0$

Tức là $ab\geq 0$

|x-1/2|+3/4 nhé

a) Tính M khi x - 1 là sao bạn ?

a: Khi m=-5 thì y=2(-5+1)x-(-5)+4

=>y=-8x+9

PTHĐGĐ là:

x^2+8x-9=0

=>(x+9)(x-1)=0

=>x=1 hoặc x=-9

=>y=1 hoặc y=81

b: \(A=\left|x_1-x_2\right|=\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}\)

\(=\sqrt{\left(2m+2\right)^2-4\left(m-4\right)}\)

\(=\sqrt{4m^2+8m+4-4m+16}\)

\(=\sqrt{4m^2+4m+20}\)

\(=\sqrt{\left(2m+1\right)^2+19}>=\sqrt{19}\)

Dấu = xảy ra khi m=-1/2