Trong ΔABD, ta có:

AD < AB + BD (bất đẳng thức tam giác) (1)

Trong ΔADC, ta có:

AD < AC + DC (bất đẳng thức tam giác) (2)

Cộng từng vế (1) và (2), ta có:

2AD < AB + BD + AC + DC ⇔ 2AD < AB + AC + BC

Vậy AD < (AB + AC + BC) / 2 .

Áp dụng quan hệ giữa ba cạnh của tam giác ABD, ta có: AD < AB + BD

Áp dụng quan hệ giữa ba cạnh của tam giác ACD, ta có: AD < CD + AC

\(\Rightarrow AD + AD < AB+BD+CD+AC\)

\(\Rightarrow 2AD<AB+BC+AC\) ( vì \(DB+DC=BC\))

\(\Rightarrow\) 2AD < Chu vi tam giác ABC hay AD < (Chu vi tam giác ABC) : 2

Vậy AD nhỏ hơn nửa chu vi tam giác ABC.

XétΔABD có AD<AB+BD(1)

Xét ΔACD có AD<AC+CD(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(2AD< AB+AC+BC\)

hay \(AD< \dfrac{AB+AC+BC}{2}=\dfrac{C_{ABC}}{2}\)

Bài 1 :

Vì tam giác đó cân 

=> 

Mà theo bất đẳng thức tam giác , độ dài 1 cạnh bao nhờ cũng nhỏ hơn tổng độ dài 2 cạnh còn lại

=> Tam giác đó có 2 cạnh bằng 9m .

Chu vi tam giác đó là :

9 + 9 + 4 = 22 ( m)

Đáp số : 22m

theo BĐT trong tam giác ta có :
                   AB+BM>MA ( tg AMB)
                   AC+MC>MA (tg AMC)
cộng lạ nhé  AB+AC+MC+MB> 2MA
   AB+AC+BC> 2MA
<=> 2p > 2MA ( p là nữa chu vi )
=>  p >MA (đpcm)

Kẻ AH ⊥ BC.

* Trường hợp H trùng với D

Ta có AH < AC (đường vuông góc ngắn hơn đường xiên)

Suy ra: AD < AC

* Trường hợp H không trùng với D

Giả sử D nằm giữa H và C.

Ta có: HD < HC

Suy ra: AD < AC (hình chiếu nhỏ hơn thì có đường xiên nhỏ hơn)

Vậy AD nhỏ hơn cạnh bên của tam giác cân ABC.

Kẻ \(AH\perp BC\)

- Nếu D trùng H thì \(AD< AC\) vì \(AH< AC\) ( đường vuông góc nhỏ hơn đường xiên )

- Nếu D không trùng H, giả sử D nằm giữa H và C. Ta có: \(HD< HC\)

\(\Rightarrow AD< AC\) ( hình chiếu nhỏ hơn thì đường xiên nhỏ hơn )

Vậy AD nhỏ hơn cạnh bên của \(\Delta ABC\)