Cho abc khác + _ 1 và \(\frac{ab+1}{b}=\frac{bc+1}{c}=\frac{ca+1}{c}\) . CMR : a=b=c
Giups mình với nha , mình đang cần gấp !!!!!!!!!!
Cho các số thực a,b,c khác 0 thỏa mãn \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\) Tính \(P=\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}+\frac{ab}{c^2}\)
Mình đang cần gấp. Giúp mình với
Em tham khảo link:Câu hỏi của Conan Kudo - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Ta có bổ đề
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\)
ÁP DỤNG BỔ ĐỀ VÀO P ta có
\(P=\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}+\frac{ab}{c^2}=abc\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)\)
\(=abc.\frac{3}{abc}=3\)
Vậy P=3
Cho a;b;c > 0 và \(a+b+c+2=abc\)
CMR: \(\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}\le\frac{3}{2}\)
Các bạn giúp mình nhé, mình cần gấp.
Ta có đẳng thức quen thuộc: \(\frac{xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+zx\left(z+x\right)+2xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=1\)
\(\Rightarrow\frac{\left(x+y\right)}{z}+\frac{\left(y+z\right)}{x}+\frac{\left(z+x\right)}{y}+2=\frac{\left(x+y\right)}{z}.\frac{\left(y+z\right)}{x}.\frac{\left(z+x\right)}{y}\)
Đặt \(\frac{x+y}{z}=a;\frac{y+z}{x}=b;\frac{z+x}{y}=c\) thì ta thu được giả thiết.
Vậy tồn tại các số x, y, z > 0 sao cho \(a=\frac{x+y}{z};b=\frac{y+z}{x};c=\frac{z+x}{y}\)
BĐT quy về: \(\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{xz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}\le\frac{3}{2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM: \(VT\le\frac{1}{2}\Sigma_{cyc}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{z}{y+z}\right)=\frac{3}{2}\)
P/s: Em không chắc về cách trình bày ở chỗ phần đặt..., nhưng cách đặt trên luôn tồn tại đó!
Cách khác tự nhiên hơn!
\(a+b+c+2=abc\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(a+1\right)\left(b+1\right)=\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=1\)
Đặt \(\left(\frac{1}{a+1};\frac{1}{b+1};\frac{1}{c+1}\right)=\left(z;x;y\right)\text{ thì }x+y+z=1\Rightarrow a=\frac{1-z}{z}=\frac{x+y}{z}\)
Tương tự: \(b=\frac{y+z}{x};c=\frac{z+x}{y}\). Rồi giải như bài ban nãy.
1) Cho a,b,c>0 tm a+b+c=3. Cmr \(\frac{1}{2+a^2+b^2}+\frac{1}{2+b^2+c^2}+\frac{1}{2+c^2+a^2}\le\frac{3}{4}\)
2) Cho a,b,c>0 tm \(a^2+b^2+c^2\le abc\).Cmr \(\frac{a}{a^2+bc}+\frac{b}{b^2+ca}+\frac{c}{c^2+ab}\le\frac{1}{2}\)
3) Cho a,b,c>0 tm \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=1\).Cmr \(\sqrt{\frac{ab}{a+b+2c}}+\sqrt{\frac{bc}{b+c+2a}}+\sqrt{\frac{ca}{c+a+2b}}\le\frac{1}{2}\)
Giúp mình mới nhé các bạn. Mình đang cần gấp
Cho \(a;b;c>0\)và \(ab\ge12\)\(;\)\(bc\ge8\)\(.\)\(CMR\)\(:\)
\(a+b+c+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)+\frac{8}{abc}\ge\frac{121}{12}\)
Giúp mình gấp với, 19:00 hôm nay mình cần rồi
Lần lượt áp dụng bất đẳng thức Cô - si có 3 và 4 số, ta có:
\(\frac{a}{18}+\frac{b}{24}+\frac{2}{ab}\ge3.\sqrt[3]{\frac{a}{18}.\frac{b}{24}.\frac{2}{ab}}=\frac{1}{2}\)
\(\frac{a}{9}+\frac{c}{6}+\frac{2}{ac}\ge3.\sqrt[3]{\frac{a}{9}.\frac{c}{6}.\frac{2}{ac}}=1\)
\(\frac{b}{16}+\frac{c}{8}+\frac{2}{bc}\ge3.\sqrt[3]{\frac{b}{16}.\frac{c}{8}.\frac{2}{bc}}=\frac{3}{4}\)
\(\frac{a}{9}+\frac{b}{12}+\frac{c}{6}+\frac{8}{abc}\ge4.\sqrt[4]{\frac{a}{9}.\frac{b}{12}.\frac{c}{6}.\frac{8}{abc}}=\frac{4}{3}\)
\(\frac{13a}{18}+\frac{13b}{24}\ge2\sqrt{\frac{13a}{18}.\frac{13b}{24}}\ge2\sqrt{\frac{13.13.12}{18.24}}=\frac{13}{3}\)
\(\frac{13c}{24}+\frac{13b}{48}\ge2\sqrt{\frac{13c}{24}.\frac{13b}{48}}\ge2\sqrt{\frac{13.13.8}{24.48}}=\frac{13}{6}\)
Cộng vế với vế ta có:
\(a+b+c+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)+\frac{8}{abc}\ge\frac{121}{12}\)
Hoàng Thị Thu Huyền giỏi thế bạn học thế nào vậy
Cho \(a;b;c>0\)và \(ab\ge12\)\(;\)\(bc\ge8\)\(.\)\(CMR\)\(:\)
\(a+b+c+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)+\frac{8}{abc}\ge\frac{121}{12}\)
Giúp mình gấp nhé! Tối mai mình cần rồi
Bài 1: Cho a, b, c thuộc Q, và thỏa mãn điều kiện: abc=1.Tính giá trị của biểu thức Q
Q=\(\frac{1}{a+ab+1}+\frac{1}{b+bc+1}+\frac{1}{c+ac+1}\)
nhanh lên mình tick nha các bạn !!!!!
Đang cần gấp, làm nhanh lên nha
\(Q=\frac{1}{a+ab+1}+\frac{1}{b+bc+1}+\frac{1}{c+ac+1}\)
\(=\frac{1.c}{\left(a+ab+1\right)c}+\frac{1.ac}{\left(b+bc+1\right).ac}+\frac{1}{c+ac+1}\)
\(=\frac{c}{ac+abc+c}+\frac{ac}{abc+abc^2+ac}+\frac{1}{c+ac+1}\)
\(=\frac{c}{ac+1+c}+\frac{ac}{1+c+ac}+\frac{1}{c+ac+1}\)
\(=\frac{c+ac+1}{c+ac+1}=1\)
bài 1: a) Cho a,b,c khác 0 và a2 = bc
CMR : \(\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\) = \(\frac{c}{b}\)
b) Cho a,b,c,d khác 0 và b2 = ad , c2 = bd
CMR : \(\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}\) = \(\frac{a}{d}\)
Làm nhanh giúp mình nha mình đang cần gấp
b) a2=ac\(\Rightarrow\) \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\)
c2=bd\(\Rightarrow\) \(\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\) = \(\frac{a^3}{b^3}=\frac{b^3}{c^3}=\frac{c^3}{d^3}\) = \(\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}\)
=\(\frac{a.b.c}{b.c.d}=\frac{a}{d}\)
=> đpcm
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=c, AC=b, đường phân giác AD=d.
CMR \(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{\sqrt{2}}{d}\)
Giúp mình với!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Mình cần rất gấp
với a,b,c không âm và 2 trong 3 số không đồng thời bằng 0.
cmr: \(\frac{1}{4a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{a^2+4b^2+c^2}+\frac{1}{a^2+b^2+4c^2}\le\frac{1}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}+\frac{1}{ab+bc+ca}\)
giúp mình với nha, cảm ơn