cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z=3xyz. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=1/(x.x.x) +1/(y.y.y) +1/(z.z.z)
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức A =\(\dfrac{1}{x+y+z}-\dfrac{2}{xy+yz+zx}\)
cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x+y+z=1. Tìm giá trị nhỏ nhất cảu biểu thức: P= 1/16x +1/4y +1/z
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 4.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \(\dfrac{x+z}{xyz}\)
Có \(P=\dfrac{x+z}{xyz}=\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xy}=\dfrac{1}{y}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\right)\ge\dfrac{1}{y}.\dfrac{4}{x+z}\)
\(=\dfrac{4}{y\left(x+z\right)}=\dfrac{4}{y\left(4-y\right)}=\dfrac{4}{-y^2+4y}=\dfrac{4}{-\left(y-2\right)^2+4}\ge1\)
"=" xảy ra khi y = 2 ; x = 1 ; z = 1
Ta có x+y+z=4
=>y=4-x-z
Ta có :x,y,z>0
=>\(x^2>0,z^2>0\)
=>\(x^2z>0,z^2x>0\)
Áp dụng bất đẳng thức cô si với hai số dương \(x^2z\) và z ta có
\(x^2z+z\)>=2\(\sqrt{x^2z.z}\)
<=>\(x^2z+z>=2xz\)
CMTT:\(z^2x+x>=2xz\)
=>\(x^2z+z+z^2x+x>=4xz\)
=>\(x+z>=4xz-x^2z-z^2x\)
=>\(x+z>=xz\left(4-x-z\right)\)
Mà y=4-x-z(cmt)
=>\(x+z>=xyz\)
=>\(\dfrac{x+z}{xyz}>=1\)
hay \(P>=1\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}x^2z=z\\z^2x=x\\x+y+z=4\end{matrix}\right.\)
<=>\(\left\{{}\begin{matrix}x^2=1\\z^2=1\\x+y+z=4\end{matrix}\right.\)
<=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\z=1\\1+y+1=4\end{matrix}\right.\)
<=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\z=1\\y=2\end{matrix}\right.\)
Vậy tại x=1, y=2,z=1 thì P có giá trị nhỏ nhất là 1
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z=1 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= \(\frac{9}{1-\left(xy+yz+zx\right)}+\frac{1}{4xyz}\)
Câu hỏi của Ngô Hoàng Phúc - Toán lớp 10 | Học trực tuyến
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z+xyz=4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q=\(\left(1+\frac{x}{y}+xz\right)\left(1+\frac{y}{z}+yz\right)\left(1+\frac{z}{x}+xz\right)\)
Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}\)
Bạn kia làm ra kết quả đúng nhưng cách làm thì tào lao nhưng vẫn ra ???
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
\(\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{x}{2}+\frac{x+1}{4}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{x\left(x+1\right)}.\frac{x}{2}.\frac{x+1}{4}}=\frac{3}{2}\)
Tương tự:\(\frac{1}{y\left(y+1\right)}+\frac{y}{2}+\frac{y+1}{4}\ge\frac{3}{2}\),\(\frac{1}{z\left(z+1\right)}+\frac{z}{2}+\frac{z+1}{4}\ge\frac{3}{2}\)
Cộng vế với vế của 3 BĐT trên ta được:
\(P+\frac{x+y+z}{2}+\frac{\left(x+y+z\right)+3}{4}\ge\frac{9}{2}\)
\(\Leftrightarrow P+\frac{3}{2}+\frac{6}{4}\ge\frac{9}{2}\)
\(\Leftrightarrow P\ge\frac{3}{2}\)
Dấu '=' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x^2+x}=\frac{x}{2}=\frac{x+1}{4}\\\frac{1}{y^2+y}=\frac{y}{2}=\frac{y+1}{4}\\\frac{1}{z^2+z}=\frac{z}{2}=\frac{z+1}{4},x+y+z=3\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z=1}\)
Vậy \(P_{min}=\frac{3}{2}\)khi \(x=y=z=1\)
Áp dụng bđt Bunhiacopski ta có
\(P\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2+x+y+z}\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}.\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
lớp 8 đã học bất đẳng thức Bunhiacopski rồi à
Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn \(x+y+z\ge3\).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=x^3+y^3+z^3\).
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si:
$x^3+1+1\geq 3x$
$y^3+1+1\geq 3y$
$z^3+1+1\geq 3z$
$\Rightarrow x^3+y^3+z^3+6\geq 3(x+y+z)\geq 3.3=9$
$\Rightarrow A=x^3+y^3+z^3\geq 3$
Vậy $A_{\min}=3$. Giá trị này đạt tại $x=y=z=1$
Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn \(x+y+z\ge3\).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=x^3+y^3+z^3\).
\(A=\left(x^3+1+1\right)+\left(y^3+1+1\right)+\left(z^3+1+1\right)-6\)
\(A\ge3\sqrt[3]{x^3}+3\sqrt[3]{y^3}+3\sqrt[3]{z^3}-6=3\left(x+y+z\right)-6\ge3.3-6=3\)
\(A_{min}=3\) khi \(x=y=z=1\)
cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
M = 1/16x + 1/4y + 1/z
ta có
P = 1/16x + 1/4y + 1/z = (1/16x + 4/16y + 16/16z)
áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có
(1/16x + 4/16y + 16/16z)*(16x + 16y + 16z) >= (1 + 2 + 4)^2 = 49
=> P.16 >= 49 hay P >= 49/16
dấu = xảy ra khi
1/(16x)^2 = 1/64y^2 = 1/16z^2 và x + y + z = 1
<> 1/16x = 1/8y = 1/4z và x + y + z = 1
<> 4x = 2y = z và x + y + z = 1
<> x = 1/7 và y = 2/7 và z = 4/7