chung minh: \(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}=\frac{k}{n.\left(n+k\right)}\)
Những câu hỏi liên quan
Gửi : Nguyễn Huy Thắng ( Quy nạp )CMR : 1.2+2.3+3.4+...+n.(n+1)frac{nleft(n+1right)left(n+2right)}{3}Giải :Đặt biểu thức trên là (*)Với n 1 Thì (*) Leftrightarrow1.2frac{1.2.3}{3} ( Đúng )Giả sử với (*) đúng với nK (*) 1.2+2.3+...+k.(k+1).frac{k.left(k+1right)left(k+2right)}{3}Ta phải chứng minh (*) cùng đúng với 2k+1thật vậy với nk+1(*) 1.2+2.3+...+k.(k+1)+(k+1).(k+2)frac{left(k+1right)left(k+2right)left(k+3right)}{3} frac{k.left(k+1right)left(k+2right)}{3}+left(k+1right).left(k+2right)frac{...
Đọc tiếp
Gửi : Nguyễn Huy Thắng ( Quy nạp )
CMR : 1.2+2.3+3.4+...+n.(n+1)=\(\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\)
Giải :
Đặt biểu thức trên là (*)
Với n = 1 Thì (*) \(\Leftrightarrow1.2=\frac{1.2.3}{3}\) ( Đúng )
Giả sử với (*) đúng với n=K
=> (*) <=> 1.2+2.3+...+k.(k+1)=\(.\frac{k.\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{3}\)
Ta phải chứng minh (*) cùng đúng với 2=k+1
thật vậy với n=k+1
=>(*) <=> 1.2+2.3+...+k.(k+1)+(k+1).(k+2)=\(\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)}{3}\)
=> \(\frac{k.\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{3}+\left(k+1\right).\left(k+2\right)=\frac{\left(k+1\right).\left(k+2\right)\left(k+3\right)}{3}\)
=> \(\frac{k}{3}+1=\frac{k+3}{3}\Leftrightarrow\frac{k}{3}+1=\frac{k}{3}+1\)( Đúng )
=> (*) đúng với n = k+1
Vậy (*) đúng với mọi n thuộc N*
Sai hay đúng vậy :)
Chứng minh: \(\frac{n+1}{n+2}\left(\frac{1}{C_{n+1}^k}+\frac{1}{C_{n+1}^{k+1}}\right)=\frac{1}{C_n^k}\)
Tính các tổng :a) Afrac{1}{1.2}+frac{1}{2.3}+frac{1}{3.4}+...+frac{1}{nleft(n+1right)} ( Hướng dẫn : frac{1}{kleft(k+1right)}frac{1}{k}-frac{1}{k+1})b) Bfrac{1}{1.2.3}+frac{1}{2.3.4}+frac{1}{3.4.5}+...+frac{1}{nleft(n+1right)left(n+2right)} ( Hướng dẫn : frac{1}{kleft(k+1right)left(k+2right)}frac{1}{2}left(frac{1}{k}+frac{1}{k+2}right)-frac{1}{k+1})
Đọc tiếp
Tính các tổng :
a) \(A=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{n\left(n+1\right)}\) ( Hướng dẫn : \(\frac{1}{k\left(k+1\right)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\))
b) \(B=\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+\frac{1}{3.4.5}+...+\frac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\)
( Hướng dẫn : \(\frac{1}{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k}+\frac{1}{k+2}\right)-\frac{1}{k+1}\))
\(A=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{n\left(n+1\right)}\)
\(A=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)
\(A=1-\frac{1}{n+1}\)
a) Ta có: \(A=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{n\left(n+1\right)}\)
\(A=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)
\(A=1-\frac{1}{n+1}\)
\(A=\frac{n+1}{n+1}-\frac{1}{n+1}\)
\(A=\frac{n}{n+1}\)
Học tốt nha^^
\(B=\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+\frac{1}{3.4.5}+...+\frac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\)
\(\Rightarrow2B=\frac{2}{1.2.3}+\frac{2}{2.3.4}+\frac{2}{3.4.5}+...+\frac{2}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\)
\(\Rightarrow2B=\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+\frac{1}{3.4}-\frac{1}{4.5}+...+\)
\(\frac{1}{n\left(n+1\right)}-\frac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\)
\(\Rightarrow2B=\frac{1}{1.2}-\frac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\)
\(\Rightarrow B=\frac{1}{4}-\frac{1}{2\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\)
Chứng minh rằng : \(\frac{k}{n\left(n+k\right)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}\) ( với n,k E N, n #0 )
Ta có :
1/n - 1/n + k
= n + k - n / n . ( n + k )
= k / n . ( n + k )
Đúng 0
Bình luận (0)
Ta có \(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}=\frac{n+k}{n\cdot\left(n+k\right)}-\frac{n}{n\cdot\left(n+k\right)}=\frac{k}{n\cdot\left(n+k\right)}\) (dpcm)
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh rằng : \(\frac{k}{n\left(n+k\right)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}\)
\(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}=\frac{n+k}{n\left(n+k\right)}-\frac{n}{n\left(n+k\right)}=\frac{n+k-n}{n\left(n+k\right)}=\frac{k}{n\left(n+k\right)}\)
=> điều phải chứng minh
Đúng 0
Bình luận (0)
\(\frac{k}{n\left(n+k\right)}=\frac{1}{n+k}\)
Vì n(n+k) chia hết cho cả n và n + k nên ta lấy n(n+k) là mẫu chung
\(\frac{1}{n}=\frac{1.\left(n+k\right)}{n.\left(n+k\right)}=\frac{n+k}{n\left(n+k\right)}\) ; \(\frac{1}{n+k}=\frac{1.n}{n\left(n+k\right)}=\frac{n}{n\left(n+k\right)}\) (nhân cả tử phân số này cho phân số kia)
\(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}=\frac{n+k}{n\left(n+k\right)}-\frac{n}{n\left(n+k\right)}=\frac{k+n-n}{n\left(n+k\right)}=\frac{k}{n\left(n+k\right)}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
\(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}=\frac{n+k}{n\left(n+k\right)}-\frac{n+k}{n\left(n+k\right)}=\frac{n+k-n}{n\left(n+k\right)}=\frac{k}{n\left(n+k\right)}\)
\(=>đpcm\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Tính tổng của B :B=\(\frac{1}{1\cdot2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot3\cdot4}+\frac{1}{3\cdot4\cdot5}+...+\frac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\)
HD:\(\frac{1}{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k}+\frac{1}{k+2}\right)-\frac{1}{k+1}\)
B=1/2.1.2-1/2.2.3+1/2.2.3-1/2.3.4+...+1/2n(n+1)-1/2(n+1)(n+2)
B=1/2[(1/1.2+1/2.3+...+1/n(n+1))-(1/2.3+1/3.4+...+1/(n+1)(n+2))]
Tới đây bạn tự làm tiếp nha, tương tự như bài 1/1.2+1/2.3+..+1/n(n+1) á bạn.Cái này bạn ghi ra bạn sẽ hiểu, mình viết hơi bị lủng củng.
Đúng 0
Bình luận (0)
với \(a_1,a_2,a_3,.....,a_n>0;a_1+a_2+a_3+....+a_n=k\)
Chứng minh\(\left(a_1+\frac{1}{a_2}\right)^2+\left(a_2+\frac{1}{a_3}\right)^2+...+\left(a_n+\frac{1}{a_1}\right)^2\ge\frac{1}{n}\left(\frac{k^2+n^2}{k}\right)^2\)
Các bạn có thể giúp minh bài này được không?
CMR: \(\frac{k}{n.\left(n+k\right)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}\)
Lời giải:
$\frac{k}{n(n+k)}=\frac{(n+k)-n}{n(n+k)}=\frac{n+k}{n(n+k)}-\frac{n}{n(n+k)}$
$=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}$
Ta có đpcm.
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho k là số nguyên dương bất kì. Chứng minh bất đẳng thức sau \(\frac{1}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}< 2\left(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\)