đặt b+c-a=x,a+c-b=y,a+b-c=z thì x,y,z>0 do a,b,c>0

=>x+y+z=a+b+c

có a=(y+z)/2 , b=(z+x)/2 ,c=(x+y)/2

A=(y+z)/2x + (z+x)/2y + (x+y)/2z =1/2[(x/y+y/x)+(y/z+z/y)+(x/z+z/x)

Áp dụng bđt cosi : x/y+y/x >= 2,y/z+z/y >= 2,z/x+x/z >= 2 

=>A >= 1/2.6=3 (đpcm)

Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z<=>b+c-a=a+c-b=a+b-c<=>a=b=c <=> tam giác đó là tam gíac đều

Áp dụng bđt Cauchy-Schawrz dạng Engel ta có:

A = a^2/ab+ac-a^2  +  b^2/ab+bc-b^2  +  c^2/ac+bc-c^2

A \(\ge\)(a+b+c)^2/2.(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)

A \(\ge\)a^2+b^2+c^2+2.(ab+bc+ca)/2.(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)

A \(\ge\)2.(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)/2.(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)  +  2.(a^2+b^2+c^2)/2.(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)

A \(\ge\)1  +  2.(a^2+b^2+c^2)/2.(a^2+b^2+c^2)-(a^2+b^2+c^2)

A \(\ge\) 1 + 2 = 3 (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c

mình mới học lớp 6 thôi

xin lỗi mình ko biết bài này

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}; bc\leq \frac{(b+c)^2}{4}; ca\leq \frac{(c+a)^2}{4}\). Do đó:

\(\frac{ab}{c^2+3}+\frac{bc}{a^2+3}+\frac{ac}{b^2+3}\leq \frac{1}{4}\underbrace{\left(\frac{(a+b)^2}{c^2+3}+\frac{(b+c)^2}{a^2+3}+\frac{(c+a)^2}{b^2+3}\right)}_{M}(*)\)

Lại có, từ $a^2+b^2+c^2=3$ và áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz suy ra:

\(M=\frac{(a+b)^2}{(a^2+c^2)+(b^2+c^2)}+\frac{(b+c)^2}{(a^2+b^2)+(a^2+c^2)}+\frac{(c+a)^2}{(b^2+a^2)+(b^2+c^2)}\)

\(\leq \frac{a^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{b^2+c^2}+\frac{a^2}{b^2+a^2}\)

\(\Leftrightarrow M\leq \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}+\frac{b^2+c^2}{b^2+c^2}+\frac{c^2+a^2}{c^2+a^2}=3(**)\)

Từ \((*); (**)\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{3}{4}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

\(VT=\Sigma\frac{ab}{\left(a^2+c^2\right)+\left(b^2+c^2\right)}\le\frac{1}{2}.\Sigma\frac{ab}{\sqrt{a^2+c^2}.\sqrt{b^2+c^2}}\le\frac{1}{4}\left(\Sigma\frac{a^2}{a^2+c^2}+\Sigma\frac{b^2}{b^2+c^2}\right)=\frac{3}{4}\)

(tắt tí ạ, ko chắc)