a: Gọi d=ƯCLN(2n+2;2n+3)

=>2n+3-2n-2 chia hết cho d

=>1 chia hết cho d

=>d=1

=>2n+2 và 2n+3 là hai số nguyên tố cùng nhau

b: Gọi d=ƯCLN(2n+1;n+1)

=>2n+1 chia hết cho d và n+1 chia hết cho d

=>2n+2 chia hết cho d và 2n+1 chia hết cho d

=>2n+2-2n-1 chia hết cho d

=>1 chia hết cho d

=>d=1

=>ĐPCM

a) Đặt d là ƯCLN(2n+2, 2n+3) 

\(2n+2\text{ ⋮ }d\) và \(2n+3\text{ ⋮ }d\)

\(\Rightarrow\left(2n+3\right)-\left(2n+2\right)\text{ ⋮ }d\)

\(\Rightarrow2n+3-2n-2\text{ ⋮ }d\)

\(\Rightarrow1\text{ ⋮ }d\)

\(\Rightarrow d=1\)

Vậy 2n+2 và 2n+3 là cặp số nguyên tốc cùng nhau 

b) Đặt d là ƯCLN(2n+1, n+1) 

\(2n+1\text{ ⋮ }d\) và \(n+1\text{ ⋮ }d\)

\(\Rightarrow2n+1\text{ ⋮ }d\) và \(2n+2\text{ ⋮ }d\)

\(\Rightarrow\left(2n+2\right)-\left(2n+1\right)\text{ ⋮ }d\)

\(\Rightarrow2n+2-2n-1\text{ ⋮ }d\)

\(\Rightarrow1\text{ ⋮ }d\)

\(\Rightarrow d=1\)

Vậy 2n+1 và n+1 là cặp số nguyên tố cùng nhau 

c) Đặt d là ƯCLN(n+1, 3n+4) 

\(n+1\text{ ⋮ }d\) và \(3n+4\text{ ⋮ }d\)

\(\Rightarrow3n+3\text{ ⋮ }d\) và \(3n+4\text{ ⋮ }d\)

\(\Rightarrow\left(3n+4\right)-\left(3n+3\right)\text{ ⋮ }d\)

\(\Rightarrow3n+4-3n-3\text{ ⋮ }d\)

\(\Rightarrow1\text{ ⋮ }d\)

Vậy n+1 và 3n+4 là cặp số nguyên tốc cùng nhau 

1:

a: Gọi d=ƯCLN(n+5;n+4)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}n+5⋮d\\n+4⋮d\end{matrix}\right.\)

=>\(n+5-n-4⋮d\)

=>\(1⋮d\)

=>d=1

=>n+4 và n+5 là hai số nguyên tố cùng nhau

b: Gọi d=ƯCLN(2n+5;n+2)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2n+5⋮d\\n+2⋮d\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n+5⋮d\\2n+4⋮d\end{matrix}\right.\)

=>\(2n+5-2n-4⋮d\)

=>\(1⋮d\)

=>d=1

=>2n+5 và n+2 là hai số nguyên tố cùng nhau

c: Gọi d=ƯCLN(3n+7;n+2)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}3n+7⋮d\\n+2⋮d\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}3n+7⋮d\\3n+6⋮d\end{matrix}\right.\)

=>\(3n+7-3n-6⋮d\)

=>\(1⋮d\)

=>d=1

=>3n+7 và n+2 là hai số nguyên tố cùng nhau

d: Gọi d=ƯCLN(2n+1;3n+1)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2n+1⋮d\\3n+1⋮d\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}6n+3⋮d\\6n+2⋮d\end{matrix}\right.\)

=>\(6n+3-6n-2⋮d\)

=>\(1⋮d\)

=>d=1

=>2n+1 và 3n+1 là hai số nguyên tố cùng nhau

a) Gọi d là ƯCLN  của n + 4 và n + 5 

⇒ n + 4 ⋮ d và n + 5 ⋮ d 

⇒ (n + 5 - n - 4) ⋮ d

⇒ 1 ⋮ d

⇒ d = 1

Vậy n + 4 và n + 5 luôn là cặp SNT cùng nhau 

b) Gọi d là ƯCLN của 2n + 5 và n + 2

⇒ 2n + 5 ⋮ d và n + 2 ⋮ d

⇒ 2n + 5 ⋮ d và 2(n + 2) ⋮ d

⇒ (2n + 5 - 2n - 4) ⋮ d

⇒ 1 ⋮ d

⇒ d = 1

Vậy  2n + 5 và n + 2 luôn là cặp SNT cùng nhau 

c) Gọi d là ƯCLN của n + 2 và 3n + 7 

⇒ n + 2 ⋮ d và 3n + 7 ⋮ d

⇒ 3(n + 2) ⋮ d và 3n + 7 ⋮ d

⇒ (3n + 7 - 3n - 6) ⋮ d 

⇒ 1 ⋮ d 

⇒ d = 1

Vậy n + 2 và 3n + 7 luôn là cặp SNT cùng nhau

d) Gọi d là ƯCLN của 2n + 1 và 3n + 1

⇒ 2n + 1 ⋮ d và 3n + 1 ⋮ d

⇒ 3(2n + 1) ⋮ d và 2(3n + 1) ⋮ d

⇒ (6n + 3 - 6n - 2) ⋮ d

⇒ 1 ⋮ d

⇒ d = 1

Vậy 2n + 1 và 3n + 1 luôn là cặp SNT cùng nhau 

e có 2 chia hết cho d; 2n+3 lẻ nên (2n+3,4n+8)=1

còn n+1-n=1 nên (n,n+1)=1

Bài 1: Gọi hai số lẻ liên tiếp là $2k+1$ và $2k+3$ với $k$ tự nhiên.

Gọi $d=ƯCLN(2k+1, 2k+3)$

$\Rightarrow 2k+1\vdots d; 2k+3\vdots d$

$\Rightarrow (2k+3)-(2k+1)\vdots d$

$\Rightarrow 2\vdots d\Rightarrow d=1$ hoặc $d=2$

Nếu $d=2$ thì $2k+1\vdots 2$ (vô lý vì $2k+1$ là số lẻ)

$\Rightarrow d=1$

Vậy $2k+1,2k+3$ nguyên tố cùng nhau. 

Ta có đpcm.

Bài 2:

a. Gọi $d=ƯCLN(n+1, n+2)$

$\Rightarrow n+1\vdots d; n+2\vdots d$

$\Rightarrow (n+2)-(n+1)\vdots d$

$\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$
Vậy $(n+1, n+2)=1$ nên 2 số này nguyên tố cùng nhau. 

b.

Gọi $d=ƯCLN(2n+2, 2n+3)$

$\Rightarrow 2n+2\vdots d; 2n+3\vdots d$

$\Rightarrow (2n+3)-(2n+2)\vdots d$ hay $1\vdots d$
$\Rightarrow d=1$.

Vậy $(2n+2, 2n+3)=1$ nên 2 số này nguyên tố cùng nhau.

Bài 2:

c.

Gọi $d=ƯCLN(2n+1, n+1)$

$\Rightarrow 2n+1\vdots d; n+1\vdots d$
$\Rightarrow 2(n+1)-(2n+1)\vdots d$

$\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$

Vậy $ƯCLN(2n+1, n+1)=1$ nên 2 số này nguyên tố cùng nhau.

d.

Gọi $d=ƯCLN(n+1, 3n+4)$

$\Rightarrow n+1\vdots d; 3n+4\vdots d$

$\Rightarrow 3n+4-3(n+1)\vdots d$

$\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$
Vậy $ƯCLN(n+1, 3n+4)=1$

$\Rightarrow$ 2 số này nguyên tố cùng nhau.

\(a,\) Gọi \(d=ƯCLN\left(n+1;n+2\right)\)

\(\Rightarrow n+1⋮d;n+2⋮d\\ \Rightarrow n+2-n-1⋮d\\ \Rightarrow1⋮d\\ \Rightarrow d=1\)

Vậy \(ƯCLN\left(n+1;n+2\right)=1\) hay n+1 và n+2 ntcn

\(b,\) Gọi \(d=ƯCLN\left(3n+10;3n+9\right)\)

\(\Rightarrow3n+10⋮d;3n+9⋮d\\ \Rightarrow3n+10-3n-9⋮d\\ \Rightarrow1⋮d\\ \Rightarrow d=1\)

Vậy 3n+10 và 3n+9 ntcn