\(x^{3m+1}+x^{3n+2}+1\\ =x^{3m+1}+x^{3n+2}+1-x-x^2+x+x^2\\ =\left(x^{3m+1}-x\right)+\left(x^{3n+2}-x^2\right)+\left(x^2+x+1\right)\\ =x\left(x^{3m}-1\right)+x^2\left(x^{3n}-1\right)+\left(x^2+x+1\right)\\ =\left(x^{3m}-1\right)\left(x+x^2\right)+\left(x^2+x+1\right)\\ =\left[\left(x^3\right)^m-1\right]\left(x+x^2\right)+\left(x^2+x+1\right)\\ =\left(x^3-1\right)S\left(x+x^2\right)+\left(x^2+x+1\right)\\ =S\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\left(x+x^2\right)+\left(x^2+x+1\right)\\ =\left(x^2+x+1\right)\left[S\left(x-1\right)\left(x+x^2\right)+1\right]⋮\left(x^2+x+1\right)\forall m;n\)

bn ... ơi...mik ...bỏ...cuộc ...hu...hu

. Huhu T^T mong sẽ có ai đó giúp mình "((

1 ) \(\left(x^2-2x+5\right)\left(x-2\right)=\left(x^2+x\right)\left(x-5\right)\)

\(\Leftrightarrow x^3-2x^2+5x-2x^2+4x-10=x^3+x^2-5x^2-5x\)

\(\Leftrightarrow x^3-4x^2+9x-10=x^3-4x^2-5x\)

\(\Leftrightarrow9x-10=-5x\)

\(\Leftrightarrow14x=10\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{7}\)

Vậy \(x=\dfrac{5}{7}\)

2 ) \(\left(x-9\right)\left(x-9\right)+\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)-\left(5x-4\right)\left(x-2\right)\)

\(=\left(x-9\right)^2+\left(2x+1\right)^2-\left[5x^2-4x-10x+8\right]\)

\(=x^2-18x+81+4x^2+4x+1-5x^2+4x+10x-8\)

\(=\left(x^2+4x^2-5x^2\right)+\left(4x+4x+10x-18x\right)+\left(81+1-8\right)\)\(=74\)

\(\Rightarrowđpcm\)

3 ) \(\left(2m-3\right)\left(3n-2\right)-\left(3m-2\right)\left(2n-3\right)\)

\(=6mn-9n-4m+6-\left[6mn-4n-9m+6\right]\)

\(=6mn-9n-4m+6-6mn+4n+9m-6\)

\(=9m-9n+4n-4m\)

\(=5m-5n\)

\(=5\left(m-n\right)⋮5\left(đpcm\right)\)

1./ Khẳng định 1: Với mọi p tự nhiên > 0, ta đều có: y^p - 1 = (y - 1)*(y^p-1 + y^p-2 + y^p-3 +... + y + 1)

Hay y^p - 1 chia hết cho y - 1 với mọi y nguyên > 1.

2./ Nếu m = n = 0 thì hiển nhiên x^3*0+1 + x^3*0+2 + 1 = x² + x + 1 chia hết cho:  x² + x + 1

3./ Nếu m; n không đồng thời bằng 0 thì:

Viết \(A=x^{3m+1}+x^{3n+2}+1=x\cdot x^{3m}-x+x^2\cdot x^{3n}-x^2+x^2+x+1.\)

\(A=x\left(x^{3m}-1\right)+x^2\left(x^{3n}-1\right)+x^2+x+1\)

\(A=x\left(\left(x^3\right)^m-1\right)+x^2\left(\left(x^3\right)^n-1\right)+x^2+x+1\)

Áp dụng khẳng định 1 cho m, n tự nhiên > 0 ta có:

\(\left(x^3\right)^m-1\)và \(\left(x^3\right)^m-1\)chia hết cho x³ - 1. Mà x³ - 1 = (x - 1)(x² + x + 1)

=> \(\left(x^3\right)^m-1\)và \(\left(x^3\right)^m-1\)chia hết cho x² + x + 1

=> A chia hết cho x² + x + 1 với mọi m,n là số tự nhiên. đpcm

Với m,n là các số tự nhiên ta có \(x^{3m+1}+x^{3n+1}+1=\left(x^{3m+1}-x\right)+\left(x^{3n+2}-x\right)+x^2+x+1\)
Ta thấy:

ii/ x^(3n + 2) - x^2 = x^2[(x^3)^n - 1] chia hết cho x^3 - 1, và vì x^3 - 1 chia hết cho x^2 + x + 1 nên x^(3n + 2) - x^2 chia hết cho x^2 + x + 1. 
Từ đó suy ra [x^(3m + 1) - x] + [x^(3n + 2) - x^2] + (x^2 + x + 1) chia hết cho x^2 + x + 1, hay x^(3m + 1) + x^(3n + 2) + 1 chia hết cho x^2 + x + 1. Đây là điều phải chứng minh.

Ai làm nhanh nhất mk cho 5 T.I.C.K

Gọi Ư CLN của tử và mẫu là d => 3n+1 chia hết cho d, 5n+2 chia hết cho d . Sau đó nhân 3n+1 với 5 và 5n+2 với 3, rồi lấy mẫu trừ tử

=> 15n+6-(15n+5) chia hết cho d => 1 chia hết cho d => d=1=> (3n+1;5n+2)=1(ĐFCM)

Bài 2: 

x=y+1 =>x-y=1

Ta có : 

(x-y)(x+y)(x²+y²)(x⁴+y⁴)= (x²-y²)(x²+y²)(x⁴+y⁴)

=(x⁴-y⁴)(x⁴+y⁴)=x⁸-y^{8 (ĐFCM)}

\(\text{a.Ta có :}\)

\(x^{8n}+x^{4n}+1=x^{8n}+2x^{4n}+1-x^{4n}\)

\(=\left(x^{4n}+1\right)^2-\left(x^{2n}\right)^2\)

\(=\left(x^{4n}-x^{2n}+1\right)\left(x^{4n}+x^{2n}+1\right)\)

\(\text{Ta lại có :}\)

\(x^{4n}+x^{2n}+1=x^{4n}+2x^{2n}+1-x^{2n}\)

\(=\left(x^{2n}+1\right)^2-\left(x^n\right)^2=\left(x^{2n}-x^n+1\right)\left(x^{2n}+x^n+1\right)\)

\(\Rightarrow x^{8n}+x^{4n}+1=\left(x^{4n}-x^{2n}+1\right)\left(x^{2n}-x^n+1\right)\left(x^{2n}+x^n+1\right)\)

\(\Rightarrow x^{8n}+x^{4n}+1⋮x^{2n}+x^n+1\)

Bài 2:

a: \(\Leftrightarrow n-1-5⋮n-1\)

\(\Leftrightarrow n-1\in\left\{1;-1;5;-5\right\}\)

hay \(n\in\left\{2;0;6;-4\right\}\)

b: \(\Leftrightarrow3n-3+5⋮n-1\)

\(\Leftrightarrow n-1\in\left\{1;-1;5;-5\right\}\)

hay \(n\in\left\{2;0;6;-4\right\}\)

2)Ta có: \(x^{3m+1}+x^{3n+2}+1\)= \(x^{3m+1}-x+x^{3n+2}-x^2+x^2+x+1\)

= \(x\left(x^{3m}-1\right)+x^2\left(x^{3n}-1\right)+\left(x^2+x+1\right)\)

Ta thấy: \(x^{3m}-1=\left(x^3\right)^m-1=\left(x^3-1\right)k\) \(⋮\) \(x^3-1\)

\(x^{3n}-1=\left(x^3\right)^n-1=\left(x^3-1\right)h\) \(⋮\) \(x^3-1\)

Do đó: \(x\left(x^{3m}-1\right)+x^2\left(x^{3n}-1\right)+\left(x^2+x+1\right)\) chia hết cho \(x^2+x+1\)

Vậy \(x^{3m+1}+x^{3n+2}+1\) chia hết cho \(x^2+x+1\)