Từ giả thiết \(a+b+c=6\) ta có:

\(\left(a+b+c\right)^2=36=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+ac+bc\right)=P+ab+ac+bc\)

Hay \(P=36-ab-bc-ca\).

Vậy GTLN của P tương đương với GTNN của \(ab+bc+ca\)

Không mất tính tổng quát giả sử \(a\) là số lớn nhất trong \(a,b,c\)

Thì \(a+b+c=6\le3a\), do đó \(4\ge a\ge2\)

Lại có: \(ab+bc+ca\ge ab+ca=a\left(b+c\right)=6\left(6-a\right)\ge8\) với \(4 \ge a \ge 2\)

Do đó GTNN của \(ab+bc+ca=8\), khi \(\left\{\begin{matrix}a=4\\b=2\\c=0\end{matrix}\right.\)

Vậy GTLN của P là \(36-8=28\) khi \(\left\{\begin{matrix}a=4\\b=2\\c=0\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}a+b+c=6\left(1\right)\\0\le a,b,c\le4\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Từ(1)=> \(\left\{\begin{matrix}b+c=\left(6-a\right)\\b^2+c^2+bc=\left(6-a\right)^2-bc\end{matrix}\right.\)

\(P=a^2+\left(b^2+c^2+bc\right)+a\left(b+c\right)=a^2+\left[\left(6-a\right)^2-bc\right]+a\left(6-a\right)\)

\(P=\left(a^2-12a+36\right)-bc=\left(a-6\right)^2-bc\)

Từ (2)=> \(bc\ge0\) \(\Rightarrow P\le\left(a-6\right)^2\)

đạt được khi: \(b.c=0\Rightarrow\left[\begin{matrix}b=0\\c=0\end{matrix}\right.\) (3)

từ (1)&(3) \(\Rightarrow2\le a\le4\) (4)

P lớn nhất => !a-6! lớn nhất thủa mãn (4) => a=2 Từ (1)&(3)=>\(\left[\begin{matrix}b=4\\c=4\end{matrix}\right.\)

Kết luận:

Để P(a,b,c) đạt Max trong 3 số phải có 1 số =0 (cận bé của (2) ; Một số =4 (cận lớn của (2); một số thỏa mãn điều kiện (1)

Vậy: \(P_{max}\left(a,b,c\right)=P\left(4,2,0\right)=4^2+2^2+0^2+2.4+0+0=28\)

Đặt \(f\left(x\right)=x^2\) và \(a\ge b\ge c\)

Do đó, \(f\) là một hàm lồi và \((4,2,0)\succ(a,b,c)\)

Vậy, áp dụng BĐT Karamata ta có:

\(\Sigma\left(a^2+ab\right)=a^2+b^2+c^2+\frac{36-a^2-b^2-c^2}{2}\)

\(=\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+18\le\frac{1}{2}\left(4^2+2^2+0^2\right)+18=28\)

Này thì ý kiến

Giả sử $a\leq b\leq c\Rightarrow 2\leq c\leq 4$

$P=a^2+b^2+ab+c(a+b+c)=(a+b)^2-ab+6c\leq (6-c)^2+6c=c^2-6c+36=(c-3)^2+27$

Vì $2\leq c\leq 4$ nên $-1\leq c-3\leq 1\Rightarrow (c-3)^2\leq 1$

Vậy MaxP=28 khi a,b,c là hoán vị của 0,2,4

Ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ca=0\)

Mà \(\left(a+b+c\right)^2=0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=0\)

Ta lại có:

\(\frac{a^6+b^6+c^6}{a^3+b^3+c^3}=\frac{\left(a^6+b^6+c^6-3a^2b^2c^2\right)+3a^2b^2c^2}{\left(a^3+b^3+c^3-3abc\right)+3abc}\)

\(=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^4+b^4+c^4-a^2b^2-b^2c^2-c^2a^2\right)+3a^2b^2c^2}{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)+3abc}\)

\(=\frac{3a^2b^2c^2}{3abc}=abc\)

Câu 1: xy + x - y = 4

<=> (xy + x) - (y+ 1) = 3

<=> x(y+1) - (y + 1) = 3

<=> (y + 1) (x - 1) = 3

Theo bài ra cần tìm các số nguyên dương x, y => Xét các trường hợp y + 1 nguyên dương và x -1 nguyên dương.

Mà 3 = 1 x 3 => Chỉ có thể xảy ra các trường hợp sau:

* TH1: y + 1 = 1; x - 1 = 3 => y = 0; x = 4 (loại vì y = 0)

* TH2: y + 1 = 3; x -1 = 1 => y = 2; x = 2 (t/m)

Vậy x = y = 2.

Câu 2:

Ta có:

 (a - b)/x = (b-c)/y = (c-a)/z =(a-b + b -c + c - a) (x + y + z) = 0

Vì x; y; z nguyên dương => a-b =0; b - c = 0; c- a =0 => a = b = c

 \(\frac{a-b}{x}=\frac{b-c}{y}=\frac{c-a}{z}\)

đặt \(3^{13579}=m\).

Vì (3;13579)=1 nên (13579;m)=1 (*)

đem m+1 số \(13579;13579^2;...;13579^{m+1}\)chia cho m

Theo nguyên lý Dirichle  trong m+1 số trên có ít nhất 2 số khi chia cho m có cùng số dư

Gọi 2 số đó là \(13579^x\&13579^y\)(tự đk cho x;y)

giả sử x>y

=>13579^x-13579^y chia hết cho m

=>\(13579^y\left(13579^{x-y}-1\right)\)chia hết cho m

mà 13579^y không chia hết cho m nên 13579^x-y  -1 chia hết cho m

=>tồn tại n=x-y thỏa mãn đề bài

tại sao 13579^y ko chia hết cho m

vì (*) mk có đánh dấu vào đó