Câu 5 (3 điểm). Cho DABC vuông tại A (AB < AC) , đường cao AH. Từ H kẻ HE vuông góc AB, HF vuông AC ( E thuộc AB, F thuộc AC)
1) Chứng minh AH = EF.
2) Gọi M là trung điểm của BC, biết AB = 6cm, AC = 8cm. Tính độ dài AM.
Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao ( H thuộc BC). Kẻ HE, HF lần lượt vuông góc với AB và AC (E thuộc AB, F thuộc AC).
a) Chứng minh AH = EF.
b) Gọi O là giao điểm của AH và EF, K là trung điểm của AC. Qua F kẻ đường thẳng vuông góc với EF cắt BC tại I.Chứng minh tứ giác AOIK là hình bình hành.
c) EF cắt IK tại M. Chứng minh tam giác OMI cân
Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao ( H thuộc BC). Kẻ HE, HF lần lượt vuông góc với AB và AC (E thuộc AB, F thuộc AC).
a) Chứng minh AH = EF.
b) Gọi O là giao điểm của AH và EF, K là trung điểm của AC. Qua F kẻ đường thẳng vuông góc với EF cắt BC tại I.Chứng minh tứ giác AOIK là hình bình hành.
c) EF cắt IK tại M. Chứng minh tam giác OMI cân
a: Xét tứ giác AEHF có
góc AEH=góc AFH=góc FAE=90 độ
nên AEHF là hình chữ nhật
=>AH=EF
b: góc IFE=90 độ
=>góc IFH+góc EFH=90 độ
=>góc IFH+góc AHF=90 độ
=>góc IFH=góc IHF
=>IH=IF và góc IFC=góc ICF
=>IH=IC
=>I là trung điểm của HC
Xét ΔHAC có HO/HA=HI/HC
nên OI//AC và OI=AC/2
=>OI//AK và OI=AK
=>AOIK là hình bình hành
Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao (H thuộc BC). Kẻ HE, HF lần lượt vuông góc với AB và AC (E thuộc AB, F thuộc AC). a)Chứng minh AH=EF.
b)Gọi O là giao điểm của AH và EF, K là trung điểm của AC. Qua F kẻ đường thẳng vuông góc với EF cắt BC ở I. Chứng minh tứ giác AOIK là hình bình hành
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M là trung điểm của BC. Biết BC=10cm a)Tính AM b)Vẽ HE vuông góc với AB;HF vuông góc với AC(E thuộc AB;F thuộc AC) Chứng minh rằng : AH=EF c)Vẽ HN//EF(N thuộc AC). Chứng minh rằng: FA=FN d)Chứng minh rằng: AM vuông góc với HN Giúp mình với cần gấp ạ
b: Xét tứ giác AEHF có
\(\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=\widehat{EAF}=90^0\)
Do đó: AEHF là hình chữ nhật
Suy ra: AH=EF
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB=6cm. AC=8cm
a) Tính BC,AH, góc B,góc C
b) Vẽ AM là đường trung tuyến của tam giác ABC (M thuộc BC) . Chứng minh góc BAH= góc MAC
c) Vẻ HE vuông góc AB (E thuộc AB), HF vuông góc AC (F thuộc AC) . Chứng minh EF vuông góc AM tại K và tính độ dài AK
Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH. Từ H kẻ HF vuông góc với AB (F thuộc AB) và kẻ HE vuông góc vói AC (E thuộc AC)
a, Chứng minh: A F E ^ = A C B ^
b, Đường thẳng EF cắt BC tại M. Chứng minh ME.MF = MB.MC
a, Ta có: ∆AEF ~ ∆MCE (c.g.c)
=> A F E ^ = A C B ^
b, Ta có: ∆MFB ~ ∆MCE (g.g)
=> ME.MF = MB.MC
Cho △ABC vuông tại A, AH ⊥ BC tại H; AB=8cm; AC=15cm.
a) Tính BH, AH.
b) Từ H kẻ HE ⊥ AB tại E, HF ⊥ AC tại F. Tính EF.
c) Chứng minh AE * AB = AF * AC
d) Qua A kẻ đường vuông góc với EF tại I ,cắt BC tại M. Chứng minh M là trung điểm của BC.
e) Biết diện tích △ABC gấp đôi diện tích tứ giác AEHF. Chứng minh △ABC vuông cân.
c) \(\widehat{AEF}=\widehat{EAH}=90^0-\widehat{ABH}=\widehat{ACB}\)
\(\Rightarrow\)△AFE∼△ABC (g-g)
\(\Rightarrow\dfrac{AF}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\Rightarrow AB.AE=AC.AF\).
d) \(\widehat{CAM}=90^0-\widehat{AFE}=90^0-\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)
\(\Rightarrow\)△ACM cân tại M \(\Rightarrow MA=MC\left(1\right)\)
\(\widehat{BAM}=90^0-\widehat{AEF}=90^0-\widehat{ACB}=\widehat{ABC}\)
\(\Rightarrow\)△ABM cân tại M \(\Rightarrow MA=MB\left(2\right)\)
-Từ (1) và (2) suy ra: \(MB=MC\) nên M là trung điểm BC.
e) \(\dfrac{S_{AFE}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{EF}{BC}\right)^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{\dfrac{1}{2}S_{AEHF}}{2S_{AEHF}}=\left(\dfrac{EF}{BC}\right)^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{4}=\left(\dfrac{EF}{BC}\right)^2\Rightarrow\dfrac{EF}{BC}=\dfrac{AH}{BC}=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow H\equiv M\)
\(\Rightarrow\)△ABC vuông cân tại A.
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC)đường cao AH (H thuộc BC)
a)Cho AB = 9cm, AC = 12cm. Tính AH,BH,tạc
b)Từ H kẻ HD vuông góc AB tại D, HE vuông góc AC tại E. Chứng minh HD.AB+HE.AC=AB.AC
c)Gọi M là trung điểm BC, AM cắt DE tại I. Chứng minh 1/AI²=1/AD²+1/AE²
a: ΔABC vuông tại A
=>\(BC^2=AB^2+AC^2\)
=>\(BC=\sqrt{9^2+12^2}=15\left(cm\right)\)
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(\left\{{}\begin{matrix}AH\cdot BC=AB\cdot AC\\BH\cdot BC=AB^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AH=\dfrac{9\cdot12}{15}=7.2\left(cm\right)\\BH=\dfrac{9^2}{15}=5.4\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)
b:
ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao
nên \(HD\cdot AB=HA\cdot HB\)
ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao
nên \(HE\cdot AC=HA\cdot HC\)
\(HD\cdot AB+HE\cdot AC\)
\(=HA\cdot HB+HA\cdot HC=HA\cdot\left(HB+HC\right)\)
\(=HA\cdot BC=AB\cdot AC\)
c: Xét tứ giác ADHE có \(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)
=>ADHE là hình chữ nhật
ΔABC vuông tại A có AM là trung tuyến
nên AM=MB=MC
\(\widehat{IEA}+\widehat{IAE}=\widehat{DEA}+\widehat{IAC}\)
\(=\widehat{DHA}+\widehat{MCA}\)
\(=\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^0\)
=>AM vuông góc DE tại I
ΔADE vuông tại A có AI là đường cao
nên \(\dfrac{1}{AI^2}=\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AD^2}\)
Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH. Từ H kẻ HE vuông góc với AB, HF vuông góc với AC (E thuộc AB, F thuộc AC).
a) Chứng minh: góc AFE=góc ABC
b) Đường thẳng EF cắt BC tại M. Chứng minh: ME . MF = MB . MC.
c) Cho biết AC= 10 cm,góc BAC=60, góc ABC=80. Tính độ dài đoạn vuông góc hạ từ A
xuống EF.
a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABH vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AB, ta được:
\(AE\cdot AB=AH^2\)(1)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:
\(AF\cdot AC=AH^2\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)
hay \(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)
Xét ΔAEF và ΔACB có
\(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)(cmt)
\(\widehat{EAF}\) chung
Do đó: ΔAEF\(\sim\)ΔACB(c-g-c)
Suy ra: \(\widehat{AFE}=\widehat{ABC}\)