Do \(0\le a;b;c\le2\) 

\(\Rightarrow abc+\left(2-a\right)\left(2-b\right)\left(2-c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)-4\left(a+b+c\right)+8\ge0\)

\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)\ge4\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge4\)

\(\Leftrightarrow9-\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge4\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\le5\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;1;2\right)\) và các hoán vị

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel và bất đẳng thức AM-GM  ta có :

\(\frac{a^5}{bc}+\frac{b^5}{ca}+\frac{c^5}{ab}=\frac{a^6}{abc}+\frac{b^6}{abc}+\frac{c^6}{abc}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{3abc}=\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)}{3abc}\ge\frac{3abc\left(a^3+b^3+c^3\right)}{3abc}=a^3+b^3+c^3\)( đpcm )

Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c

Ta có: để a²+b²+c² bé hoặc bằng 5 thì a+b+c=3 và phải đạt giá trị lớn nhất

suy ra 1 số =2 1 số =1 1 số = 0

2²+1²+0²=4+1+0=5

Vậy giá trị lớn nhất có thể đạt đc là 5 suy ra a²+b²+c² bé hoặc bằng 5(đpcm)

\(\left(a+b+c\right)^2=9\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=9\)

Có \(2\left(ab+bc+ac\right)\ge2.3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=6\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\left(BĐTcosi\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c

\(a^2+b^2+c^2\le9-6\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\le9-6=3\)

Vậy .......

Do vai trò của \(a,b,c\)là như nhau nên ta có thể giả sử \(2\ge a\ge b\ge c\ge0\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}a=1+x\\c=1-y\end{cases}}\Rightarrow b=1+y-x\)

Do \(0\le a,c\le2\Rightarrow x,y\in\left\{0;1\right\}\)

BĐT đã cho trở thành \(\left(1+x\right)^2+\left(1-y\right)^2+\left(1+y-x\right)^2\le5\)

\(\Leftrightarrow3+x^2+y^2+\left(y-x\right)^2+2\left(x+y\right)+2\left(y-x\right)\le5\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2-xy\le1\)

Do \(x,y\in\left\{0;1\right\}\Rightarrow x^2+y^2\le x+y\)

Mà \(\left(1-x\right)\left(1-y\right)\ge0\Rightarrow1+xy\ge x+y\ge x^2+y^2\)

Suy ra điều phải chứng minh 

Dấu "=" xảy ra khi \(x=1;y=1\Leftrightarrow\left(a,b,c\right)=\left(0;1;2\right)\)và các hoán vị của bộ số này.