* Do  2a > 2b nên a > b   (1)

* Lại có – 3b <  - 3c nên  b  >c  (2)

Từ (1) và  (2) suy ra:  a> c.

Đề thiếu rồi bạn

a) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM : 

\(\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+1\right)\ge2\sqrt{a^2b^2}.2\sqrt{a^2}\ge2ab.2a=4a^2b\)

b) Áp dụng bất đẳng thức :\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\forall x;y>0\)

 \(\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+2c+a}\ge\frac{4}{a+3b+b+2c+a}=\frac{4}{2a+4b+2c}=\frac{2}{a+2b+c}\)

Tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+2a+b}\ge\frac{2}{b+2c+a}\\\frac{1}{c+3a}+\frac{1}{a+2b+c}\ge\frac{2}{b+2a+c}\end{cases}}\)

Cộng vế với vế ta được : \(VT+VP\ge2VP\Rightarrow VT\ge VP\)(đpcm)

a) a > b

⇒ 2a > 2b (nhân hai vế với 2 > 0)

⇒ 2a - 3 > 2b - 3 (cộng hai vế với -3)

b) a < b

⇒ -3a > -3b (nhân hai vế với -3 < 0)

⇒ -3a + 2 > -3b + 2 (1) (cộng hai vế với 2)

5 > 2

⇒ -3a + 5 > -3a + 2 (2) (cộng hai vế với -3a)

Từ (1) và (2) ⇒ -3a + 5 > -3b + 2

\(\dfrac{a^2b^2}{2a^2+b^2+3a^2b^2}=\dfrac{a^2b^2}{\left(a^2+b^2\right)+\left(a^2+a^2b^2\right)+2a^2b^2}\le\dfrac{a^2b^2}{2ab+2a^2b+2a^2b^2}=\dfrac{ab}{2\left(1+a+ab\right)}\)

Tương tự và cộng lại;

\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{ab}{1+a+ab}+\dfrac{bc}{1+b+bc}+\dfrac{ca}{1+c+ca}\right)\)

\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{ab}{1+a+ab}+\dfrac{abc}{a+ab+abc}+\dfrac{ab.ca}{ab+abc+ab.ca}\right)\)

\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{ab}{1+a+ab}+\dfrac{1}{a+ab+1}+\dfrac{a}{ab+1+a}\right)=\dfrac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Đề bài sai

Phản ví dụ: \(a=\dfrac{1}{2};b=2;c=4\) vì VT<VP

Vì \(a,b,c>0\Rightarrow a+b+c\ne0\)

Áp dụng tc dtsbn:

\(\dfrac{2b+c-a}{a}=\dfrac{2c-b+a}{b}=\dfrac{2a+b-c}{c}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2b+c-a=2a\\2c-b+a=2b\\2a+b-c=2c\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a-2b=c\\3b-2c=a\\3c-2a=b\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a-c=2b\\3b-a=2c\\3c-b=2a\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow P=\dfrac{abc}{2a\cdot2b\cdot2c}=\dfrac{1}{8}\)