a. Gọi d là ƯCLN của  \(\frac{3n-1}{5n-2}\) , ta có :

\(\left(5n-2\right)-\left(3n-1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow3\left(5n-2\right)-5\left(3n-1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow15n-6-15n-5⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

Vậy A tối giản với mọi n

b làm tương tự

a) Gọi ƯCLN(3n - 1;5n - 2) = d

=> \(\hept{\begin{cases}3n-1⋮d\\5n-2⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}5.\left(3n-1\right)⋮d\\3\left(5n-2\right)⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}15n-5⋮d\\15n-6⋮d\end{cases}}\Rightarrow\left(15n-5\right)-\left(15n-6\right)⋮d\)

=> \(1⋮d\Rightarrow d=1\)

=> 3n - 1 ; 5n - 2 là 2 số nguyên tố cùng nhau

=> \(\frac{3n-1}{5n-2}\)là phân số tối giản

b) Gọi ƯCLN(2n + 3 ; 2n - 1) = d

=> \(\hept{\begin{cases}2n+3⋮d\\2n-1⋮d\end{cases}}\Rightarrow2n+3-\left(2n-1\right)⋮d\Rightarrow4⋮d\Rightarrow d\inƯ\left(4\right)\Rightarrow d\in\left\{1;2;4\right\}\)

Vì 2n + 3 ; 2n - 1 là số lẻ với mọi \(n\inℕ^∗\)

=> 2n + 3 ; 2n - 1 không chia hết cho 2 ; 4

=> d = 1

=> 2n + 3 ; 2n - 1 là 2 số nguyên tố cùng nhau

=> B là phân số tối giản

ai biét

Đặt ƯC(3n-2;n-1)=d

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3n-2⋮d\\n-1⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3n-2⋮d\\3n-3⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(3n-2\right)-\left(3n-3\right)⋮d\)

\(\Leftrightarrow3n-2-3n+3⋮d\)

\(\Leftrightarrow1⋮d\Rightarrow d\in\left\{1;-1\right\}\)

\(\Rightarrow\frac{3n-2}{n-1}\) tối giản.

Vậy:......................(đpcm)

Gọi d là UCLN \(\left(3n-2;n-1\right)\)

\(\Rightarrow\left(3n-2\right)⋮d\) và \(\left(n-1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow\left(3n-2\right)⋮d\) và \(3\left(n-1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow3n-2⋮d\) và \(3n-3⋮d\)

\(\Rightarrow3n-2-\left(3n-3\right)⋮d\)

\(\Rightarrow3n-2-3n+3⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\)

Vậy phân số \(\frac{3n-2}{n-1}\) là phân số tối giản

Gọi \(d=ƯCLN\left(2n+1;3n+2\right)\left(d\in N\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n+1⋮d\\3n+2⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6n+3⋮d\\6n+4⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow1⋮d\)

Vì \(d\in N;1⋮d\Leftrightarrow d=1\)

\(\LeftrightarrowƯCLN\left(2n+1;3n+2\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\) Phân số \(\dfrac{2n+1}{3n+2}\) tối giản với mọi n

Gọi \(d\) là \(UCLN\left(2n+1;3n+2\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n+1⋮d\\3n+2⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3\left(2n+1\right)⋮d\\2\left(3n+2\right)⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}6n+3⋮d\\6n+4⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(6n+4\right)-\left(6n+3\right)⋮d\)

\(\Rightarrow6n+4-6n-3⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow\dfrac{2n+1}{3n+2}\) tối giản với mọi \(n\in N\rightarrowđpcm\)

Gọi d = (5n + 3 ; 3n + 2) (d thuộc N) 
=> (5n + 3) chia hết cho d và (3n + 2) chia hết cho d 
=> 5.(3n + 2) - 3.(5n + 3) chia hết cho d 
=> 1 chia hết cho d 
=> d = 1 (vì d thuộc N) 
=> ƯCLN(5n + 3 ; 3n + 2) = 1 
=> Phân số 5n+3/3n+2 tối giản với mọi n thuộc N

gọi UCLN(5n+3; 3n+2)=d khi đó 5n+3 chia hết cho d suy ra 15n+9 chia hết cho d (1)

3n+2 chia hết cho d nên 15n + 10 cũng chia hết cho d (2)   ( dử dụng tính chất a chia hết cho m thì a.n cũng chia hết cho m)

từ 1 và 2 suy ra (15n+10)-(15n+9) chia hết cho d hay 1 chia hết cho d ( tính chất chia hết của 1 tổng- hiệu). vậy d=1

vậy UCLN(5n+3; 3n+2)=1 hay phân số trên tối giản

lưu ý: để chứng minh 1 phân số tối giản ta chứng minh UCLN của tử và mẫu bằng 1. còn trong tập Z ta cm UCLN = +-1