Áp dụng bất đẳng thức $x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx$ có:

$a^4+b^4+c^4 \geq (ab)^2+(bc)^2+(ca)^2 \geq abbc+bcca+abca=abc(a+b+c)$

b, đề đúng: $\dfrac{a^8+b^8+c^8}{(abc)^3} \geq \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$

Có \dfrac{a^8+b^8+c^8}{(abc)^3} \geq \dfrac{(ab)^4+(bc)^4+(ca)^4}{(abc)^3} \geq \dfrac{(abbc)^2+(bcca)^2+(abca)^2}{(abc)^3}$

$\geq \dfrac{a^2+b^2+c^2}{abc} \geq \dfrac{ab+bc+ca}{abc}= \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$
Cả hai phần dấu $=$ xảy ra $⇔a=b=c$

ta có 

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Rightarrow ab+bc+ca=0\Rightarrow c\left(a+b\right)=-ab\Rightarrow a+b=-\frac{ab}{c}\)

CMTT:

\(a+c=-\frac{ac}{b}\)

\(b+c=-\frac{bc}{a}\)

Thay vào biểu thức \(A=\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}\)

\(\Rightarrow A=\frac{\left(-\frac{ab}{c}.-\frac{bc}{a}.-\frac{ac}{b}\right)}{abc}=-\frac{a^2b^2c^2}{a^2b^2c^2}=-1\)

T I C K ủng hộ nha mình cảm ơn

___________CHÚC BẠN HỌC TỐT NHA _____________________

Ta có a+b+c>(a+b+c):1

=>a>1, b<1, c>1

=>.. dpcm

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{bc+ac+ab}{abc}=\frac{bc+ac+ab}{1}=bc+ac+ab\Rightarrow a+b+c>bc+ac+ab\)

\(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)=\left(ab-a-b+1\right)\left(c-1\right)=abc-ac-bc+c-ab+a+b-1\)

\(=1-1+a+b+c-ac-bc-ab=a+b+c-\left(ac+bc+ab\right)\)

vì \(a+b+c>bc+ac+ab\)(chứng minh trên)\(\Rightarrow a+b+c-\left(bc+ac+ab\right)>0\)

\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)>0\)

Ta có: \(a+b+c>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ca}{abc}=ab+bc+ca\) 

\(\Rightarrow a+b+c>ab+bc+ca\) 

\(\Leftrightarrow a+b+c-ab-bc-ca>0\) 

\(\Leftrightarrow abc+a+b+c-ab-bc-ca-1>0\) 

\(\Leftrightarrow ab\left(c-1\right)-a\left(c-1\right)-b\left(c-1\right)+\left(c-1\right)>0\) 

\(\Leftrightarrow\left(c-1\right)\left(ab-a-b+1\right)>0\) 

\(\Leftrightarrow\left(c-1\right)\left(b-1\right)\left(a-1\right)>0\) 

*ĐPCM*

ta có:1:0,abc=a+b+c

<=>abc.(a+b+c)=1000

=>abc E Ư(1000) và abc là ước có 3 chữ số

=>abc E {100;125;200;250;500}

+)abc=100=>a+b+c=10(loại)

+)abc=125=>a+b+c=8(nhận)

+)abc=200=>a+b+c=5(loại)

+)abc=250=>a+b+c=4(loai

+)abc=500=>a+b+c=2(loại)

vậy abc=125

tick nhé

Từ \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\)

Mà \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2\)

\(\Rightarrow2ab+2ac+2bc=0\)

\(\Rightarrow2\left(ab+ac+bc\right)=0\)

\(\Rightarrow ab+ac+bc=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Leftrightarrow\frac{1}{a}=-\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\). Khi đó

\(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}-\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^3=-\frac{3}{bc}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=-\frac{3}{bc}\cdot\frac{-1}{a}=\frac{3}{abc}\)

\(\frac{1}{a+b+c}=0,abc=\frac{abc}{1000}\)

Vậy: a + b + c = \(\frac{1000}{abc}\)

\(=>1000=\left(a+b+c\right)\times abc\)

Vì \(1000=10\times100=8\times125=5\times200=2\times500=4\times250\)

Nên \(abc\) chỉ có thể là một trong các số 100, 125, 200, 250, 500.

Ta lần lượt thử:

- Nếu \(abc=100\) thì \(a+b+c=1+0+0=1< 10\)( loại )

- Nếu \(abc=125\) thì \(a+b+c=1+2+5=8=8\)( chọn )

- Nếu \(abc=200\) thì \(a+b+c=2+0+0=2< 5\)( loại )

- Nếu \(abc=250\) thì \(a+b+c=2+5+0=7\)( loại )

- Nếu \(abc=500\) thì \(a+b+c=5+0+0=5>2\)( loại )

Vậy \(abc=125\)