Nhận xét:

1/2 mũ 2 + 1/3 mũ 2 + 1/4 mũ 2 + ... + 1/10 mũ 2 <1/1.2 + 1/2.3 + 1/3.4 + ... + 1/ 9.10

Ta có:

A = 1/1.2 + 1/2.3 + 1/3.4 + ... + 1/9.10

A = 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 -1/4 + ... + 1/9 - 1/10

A = 1 - 1/10

A = 9/10 

=> A < 1

Mà S < A

=> S < 1

S  <  1

a)  (x+1) +(x+2) +...+(x+100) = 5750

100.x + (1+2+...+100) =5750

100.x + (100.101):2 = 5750

100.x + 5050 = 5750

100x= 700

x= 7

a>

\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{100^2}\)=1/4+1/10000

ta có 1/4<1/2(vì 2 đề bài muốn chứng minh tổng đó nhỏ 1 thì chúng ta phải xét xem có bao nhiêu lũy thừa hoặc sht thì ta sẽ lấy 1 : cho số số hạng )

1/100^2<1/2

=>A<1

\(\Leftrightarrow2-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{11}}\right)>0\)

Ta có: \(\frac{1}{2^{12}}-1=\left(\frac{1}{2}-1\right)\left(\frac{1}{2^{11}}+\frac{1}{2^{10}}+\frac{1}{2^9}+...+\frac{1}{2}+1\right)\)

\(\Rightarrow1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2^{11}}=2\left(1-\frac{1}{2^{12}}\right)=2-\frac{1}{2^{11}}\)

\(\Rightarrow2-\left(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2^{11}}\right)=2-\left(2-\frac{1}{2^{11}}\right)=\frac{1}{2^{11}}>0\left(đpcm\right)\)

1-1/2-1/2^2-......-1/2^11

ta có:1-1/2-1/2^2-.....-1/2^11=1-(1/2+1/2^2+....+1/2^11)

A=1/2+1/2^2+1/2^3+...+1/2^11

2A=2.(1/2+1/2^2+1/2^3+...+1/2^11)

2A=2.1/2+2.1/2^2+....+2.1/2^11

2A-A=(1+1/2^2+1/2^3+...+1/2^10)-(1/2+1/2^2+1/2^3+....+1/2^11)

A=1-1/2^11=2048/2048-1/2048=2047/2048

vì 1-(1/2+1/2^2+1/2^3+...+1/2^11)=1-A

=> 1-(1/2+1/2^2+1/2^3+...+1/2^11)=1-2047/2048=2048/2048-2047/2048=1/2048=1/2^11

vậy 1-1/2-1/2^2-1/2^3-...-1/2^11=1/2^11

Ta có \(\dfrac{1}{2^2}< \dfrac{1}{1.2};\dfrac{1}{3^2}< \dfrac{1}{2.3};...;\dfrac{1}{10^2}< \dfrac{1}{9.10}\)

cộng vế với vê sta đc 

\(A< 1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{10}=1-\dfrac{1}{10}=\dfrac{9}{10}< 1\)

Vậy ta có đpcm