a) Xét (O) có

ΔBAC nội tiếp đường tròn(B,A,C\(\in\)(O))

AB là đường kính(gt)

Do đó: ΔABC vuông tại C(Định lí)

a) Xét (O) có 

ΔABC nội tiếp đường tròn(A,B,C∈(O))

AB là đường kính

Do đó: ΔABC vuông tại C(Định lí)

b) Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại C, ta được:

\(AB^2=BC^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=AB^2-AC^2=\left(2\cdot R\right)^2-R^2=3\cdot R^2\)

hay \(BC=R\cdot\sqrt{3}\)(đvđd)

Xét ΔABC vuông tại C có 

\(\sin\widehat{A}=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{R\sqrt{3}}{2R}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

hay \(\widehat{A}=60^0\)

Xét ΔABC vuông tại C có

\(\widehat{A}+\widehat{B}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)

hay \(\widehat{B}=30^0\)

Vậy: \(BC=R\cdot\sqrt{3}\)(đvđd); \(\widehat{A}=60^0\); \(\widehat{B}=30^0\)

a: Ta có: ΔOBC cân tại O

mà OK là đường trung tuyến

nên OK\(\perp\)BC và OK là phân giác của góc BOC

OK là phân giác của góc BOC

=>\(\widehat{BOK}=\widehat{COK}\)

=>\(\widehat{BOD}=\widehat{COD}\)

Xét ΔOBD và ΔOCD có

OB=OC

\(\widehat{BOD}=\widehat{COD}\)

OD chung

Do đó: ΔOBD=ΔOCD

=>DB=DC

ΔOBD=ΔOCD

=>\(\widehat{OBD}=\widehat{OCD}\)

mà \(\widehat{OBD}=90^0\)

nên \(\widehat{OCD}=90^0\)

=>DC\(\perp\)CO tại C

=>DC là tiếp tuyến của (O)

b: Xét tứ giác CHOK có

\(\widehat{CHO}+\widehat{CKO}=90^0+90^0=180^0\)

nên CHOK là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính CO

=>C,H,O,K cùng thuộc một đường tròn

tâm là trung điểm của CO

Bán kính là \(\dfrac{CO}{2}\)

a: Xét tứ giác CAOM có

góc CAO+góc CMO=180 độ

nên CAOM là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

CA,CM là tiêp tuyến

nên CA=CM và OC là phân giác của góc MOA(1)

Xét (O) có

DM,DB là tiếp tuyến

nên DM=DB và OD là phân giác của góc MOB(2)

Từ (1), (2) suy ra góc COD=1/2*180=90 độ

CM*MD=OM^2

=>CA*BD=R^2

c: CA=CM

OA=OM

=>CO là trung trực của AM

=>CO vuông góc với AM

=>CO//BK

Xét ΔABK có

O là trung điểm của AB

OC//BK

Do đó: C là trung điểm của AK

c.

\(CM=AC\) (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau) (1)

\(\widehat{KMC}=\widehat{DMB}\) (đối đỉnh) 

Mà \(DM=DB\) (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau) \(\Rightarrow\Delta DMB\) cân tại D

\(\Rightarrow\widehat{DMB}=\widehat{DBM}\Rightarrow\widehat{KMC}=\widehat{DBM}\)

Lại có: \(\widehat{DBM}=\widehat{AKB}\) (cùng phụ \(\widehat{ABK}\)) 

\(\Rightarrow\widehat{KMC}=\widehat{AKB}\Rightarrow\Delta CKM\) cân tại C

\(\Rightarrow CK=CM\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow CK=CA\) hay C là trung điểm AK

d.

Qua A kẻ đường thẳng song song BM cắt BD kéo dài tại E

\(\Rightarrow AKBE\) là hbh (2 cặp cạnh đối song song)

\(\Rightarrow\) 2 đường chéo KE và AB cắt nhau tại trung điểm O của AB

Hay K, O, E thẳng hàng

Theo t/c 2 tiếp tuyến ta có \(OD\perp BM\) \(\Rightarrow OD\perp AE\)

Đồng thời \(AB\perp DE\) (gt)

\(\Rightarrow\) O là trực tâm tam giác ADE

\(\Rightarrow OE\perp AD\)

\(\Rightarrow OK\perp AD\)