Bài 1:

Đặt $20x=25y=30z=t$ với $t$ là số tự nhiên khác 0.

$\Rightarrow x=\frac{t}{20}; y=\frac{t}{25}; z=\frac{t}{30}$

Để $x,y,z$ là stn thì $t\vdots 20,25,30$

$\Rightarrow t=BC(20,25,30)$

Để $x,y,z$ nhỏ nhất và khác 0 thì $t$ nhỏ nhất và khác 0

$\Rightarrow t=BCNN(20,25,30)$ sao cho $t\neq 0$

$\Rightarrow t=300$

$\Rightarrow x=\frac{t}{20}=\frac{300}{20}=15, y=\frac{t}{25}=\frac{300}{25}=12; z=\frac{300}{30}=10$

Bài 2:

$2n+1\vdots n-1$

$\Rightarrow 2(n-1)+3\vdots n-1$

$\Rightarrow 3\vdots n-1$

$\Rightarrow n-1\in \left\{1; -1; 3;-3\right\}$

$\Rightarrow n\in \left\{3; 0; 4; -2\right\}$

a:

\(1^2+2^2+3^2+...+n^2=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\left(1\right)\)

Đặt \(S=1^2+2^2+...+n^2\)

Với n=1 thì \(S_1=1^2=1=\dfrac{1\left(1+1\right)\left(2\cdot1+1\right)}{6}\)

=>(1) đúng với n=1

Giả sử (1) đúng với n=k

=>\(S_k=1^2+2^2+3^2+...+k^2=\dfrac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}\)

Ta sẽ cần chứng minh (1) đúng với n=k+1

Tức là \(S_{k+1}=\dfrac{\left(k+1+1\right)\cdot\left(k+1\right)\left(2\cdot\left(k+1\right)+1\right)}{6}\)

Khi n=k+1 thì \(S_{k+1}=1^2+2^2+...+k^2+\left(k+1\right)^2\)

\(=\dfrac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}+\left(k+1\right)^2\)

\(=\left(k+1\right)\left(\dfrac{k\left(2k+1\right)}{6}+k+1\right)\)

\(=\left(k+1\right)\cdot\dfrac{2k^2+k+6k+6}{6}\)

\(=\left(k+1\right)\cdot\dfrac{2k^2+3k+4k+6}{6}\)

\(=\dfrac{\left(k+1\right)\cdot\left[k\left(2k+3\right)+2\left(2k+3\right)\right]}{6}\)

\(=\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{6}\)

\(=\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+1+1\right)\left[2\left(k+1\right)+1\right]}{6}\)

=>(1) đúng

=>ĐPCM
b: \(A=1\cdot5+2\cdot6+3\cdot7+...+2023\cdot2027\)

\(=1\left(1+4\right)+2\left(2+4\right)+3\left(3+4\right)+...+2023\left(2023+4\right)\)

\(=\left(1^2+2^2+3^2+...+2023^2\right)+4\left(1+2+2+...+2023\right)\)

\(=\dfrac{2023\cdot\left(2023+1\right)\left(2\cdot2023+1\right)}{6}+4\cdot\dfrac{2023\left(2023+1\right)}{2}\)

\(=\dfrac{2023\cdot2024\cdot4047}{6}+\dfrac{2023\cdot2024}{1}\)

\(=2023\left(\dfrac{2024\cdot4047}{6}+2024\right)⋮2023\)

\(A=\dfrac{2023\cdot2024\cdot4047}{6}+2023\cdot2024\)

\(=2024\left(2023\cdot\dfrac{4047}{6}+2023\right)\)

\(=23\cdot11\cdot8\cdot\left(2023\cdot\dfrac{4047}{6}+2023\right)\)

=>A chia hết cho 23 và 11

Bài 2: 

a) Ta có: \(A=\dfrac{4}{n-1}+\dfrac{6}{n-1}-\dfrac{3}{n-1}\)

\(=\dfrac{4+6-3}{n-1}\)

\(=\dfrac{7}{n-1}\)

Để A là số tự nhiên thì \(7⋮n-1\)

\(\Leftrightarrow n-1\inƯ\left(7\right)\)

\(\Leftrightarrow n-1\in\left\{1;7\right\}\)

hay \(n\in\left\{2;8\right\}\)

Vậy: \(n\in\left\{2;8\right\}\)

ta có B=2n+9/n+2-3n+5n+1/n+2=4n+10/n+2                                                   Để B là STN thì 4n+10⋮n+2                          4n+8+2⋮n+2                                  4n+8⋮n+2                                                      ⇒2⋮n+2                                     n+2∈Ư(2)                                                        Ư(2)={1;2}                                  Vậy n=0                                                                                  

Ta có: =4+6−3n−1=4+6−3�−1

mn mn ơiii

helllppppppppp

\(2,\\ 3^{n-3}+2^{n-3}+3^{n+1}+2^{n+2}\\ =3^{n-3}\left(1+3^4\right)+2^{n-3}\left(1+2^5\right)\\ =3^{n-3}\cdot82+2^{n-3}\cdot33\)

Vì \(3^{n-3}\cdot82⋮2;⋮3\) nên \(3^{n-3}\cdot82⋮6\)

\(2^{n-3}\cdot33⋮2;⋮3\) nên \(2^{n-3}\cdot33⋮6\)

Do đó tổng trên chia hết cho 6 với mọi \(n\in N\)

a: 12/3n-1 là số nguyên khi 3n-1 thuộc Ư(12)

=>3n-1 thuộc {1;-1;2;-2;3;-3;4;-4;6;-6;12;-12}

mà n là số nguyên

nên n thuộc {0;1;-1}

c: 2n+5/n-3 là số nguyên

=>2n-6+11 chia hết cho n-3

=>n-3 thuộc {1;-1;11;-11}

=>n thuộc {4;2;14;-8}